堀田先生の「入門/現代の量子力学」では、 付録Gで、CHSH不等式は破らない（-2～+2の範囲）が １粒子では、量子力学の帰結と同じになる「隠れた変数理論」 が提示されています。 これについて、「レゲット・ガーグ不等式」の評価が できるかと考えると： htt…

清水明「新版 量子論の基礎」では 混合状態 のことは 書かれていますが、これの密度行列を用いた説明は避けられています。 「新版 量子論の基礎」では、 純粋状態： 原理的に許される最大限のところまで 状態を指定し尽くした状態 混合状態： どんな物理量を…

内積が定義されたベクトル空間に、 あるベクトル |v＞ と |a＞があって、 |v＞から |a＞に平行な成分を抜き出す操作を |v＞の |a＞への射影といい、その演算子を射影演算子と呼びます。 平行な成分の値（複素数）は、内積＜a｜v＞ そのものです。 |a＞に平行…

初めて読む方は、↓を見て下さい。 kafukanoochan.hatenablog.com 整数ｎに対応するデルタ整数は、δ(x-n) です。 これは、縦・横の実数ベクトルを用いて δ(x-n) ＝＜n | x＞ x,ｎ∈Ｒ と書けます。 これは、実数ベクトル | x＞における「ｎを取り出す作用素の…

波動関数ψ(q)は、物理量Qの固有空間を { |q＞}とすると、 ψ(q)|q＞ = |q＞＜q|ψ＞ で定義されます。 つまり、状態ベクトルをQの固有空間へ射影したものです。 そして、状態ベクトルは、シュレーディンガ方程式： ih'd/dt |ψ＞=H |ψ＞ に従って、時間発展する…

量子力学、場の理論、超弦理論 の違いを基本変数で見ると、、、 量子力学： 基本変数が「粒子」の位置や運動量とかの物理量演算子と その正準共役演算子 （場の理論との比較で「粒子」と言っています） 場の理論＝多体問題の量子力学： 基本変数が x,y,z空間…

波動関数ψ(ｑ)は、状態ベクトルの射影|ｑ><ｑ|つまり ψ(ｑ)|ｑ＞ =|ｑ＞＜ｑ|ψ＞ で定義され、 「粒子が持つ状態の情報」を意味します。 これは、「粒子は区別する情報を持たない」と同レベルな話です。 |x＞ への射影の波動関数ψ(x)なら 空間内の１点を占め…

もちろん、測定したら「Aである」か「Bである」かのどちらかになります でも、その時は、重ね合せではありません。 この議論は、重ね合せになってる時＝測定前の話です。 したがって、状態A,Bは、２次元ベクトル(α、β) で表されます。 この場合、確実に＝100…

私は、「学生の頃の量子力学への憧れ」いわば「青春の尻尾」を、 ５０になって追っかけていたのですが、ほぼ目処がたったので、 ここで「前世紀の残務整理」としてまとめます。 １．∞高さ壁の箱の中のψ(p) 前世紀の教科書は、誤っています。 ｐは、正の一定…

１．p33 下段 (2.15)式 ΔｘΔｐ_x＞h'/2 の説明： 「これ以上正確に同時測定できない」 は誤り。同時測定なら ΔｘΔｐ_x＞h' である(新版量子論の基礎ｐ86) (2.15)式は、同一状態のアンサンブルに対し、 ｘでの測定、ｐでの測定を別々に行った場合である。 ２…

まず、特殊相対論から、 s2 = (ct)2 - (x2+y2+z2)＝一定 を、内積に計量テンソルgをつけて s2 =gμn・μn n＝0,1,2,3 これを量子化（νn=-ih' ∂/∂μn）して ∂2/∂(ct)2 - (∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2) ＝∂2/∂s2 と置く。 これと、クラインゴルドンの方程式とを見比べる…

「観測者の意識の必要性」を最初に見出したのはフォンノイマンで 観測者の観測にょって、フォンノイマン鎖が終結します。 ここでは、何故、観測者の存在が必要か説明します。 尚、EMANさんの記事： 量子雑談 観測の何が状態を確定させるのか｜EMAN｜note も…

清水明「新版 量子論の基礎」ｐ102より。 測定直前に｜ψ＞なる状態ベクトルを持っていた系に、 物理量Aの理想測定（＝射影測定）Pを行い、 測定値がAの固有値の１つaであったとする。 その場合、測定直後の状態ベクトル｜ψ’＞は、 P(a)｜ψ>が規格化されてい…

アリスの測定結果を「測定しない場合」も含めて a|結果アリス＞+b|未測定アリス＞ と書いた時、a=0、 b=1なら 測定系の状態自体が消滅することを証明します。 これは、量子力学に測定が必須であることを意味します。 （消滅するというのは冗談です。はい） |…

量子もつれ対を測定する場合と、１つの対象系を複数の観測者 が測定する場合で、アリスが最初に測定した時、 「アリスの測定結果にボブの結果が100%相関する」 ことを証明します。 尚、「値がすでに１つに決まっている」からではないです。 １．もつれ対A,B…

量子もつれ対A,Bにおいて、誰かが一方の電子Aを測定したら、 もう一方の「測定前の人にとってのBの状態」 に対しても「値がすでに１つに決まってしまう」 とか「値は確定するが分からないだけ」 などと、専門家でもそう考える方は多いと思います。 仮に、ア…

波動関数は測定対象系に付属しているのではない（観測者毎に異なる) - 墓所の虫 で、 堀田先生のブログを引用したり、フォンノイマン鎖を使って 波動関数(状態)や、その収縮には、 観測者毎に異なる場合があることを説明したのですが、 これは、証明ではない…

スピンには、波動関数はないとよく言われます。 しかし、スピンの状態が１つの固有状態に収縮して値が 確定した時は、スピンの確率密度が、その値の所で δ関数になります。 確率密度は、一般にψ＊(q)ψ(q) ですから、 スピンにも波動関数が言えるはずです。 …

例えば、観測者を o とすると、 という式が、多世界解釈では、よく出てきます。 でも、この「測定でのもつれ状態に 観測者の状態 が入る式」は、 多世界解釈だけのものではなく、コペンハーゲン解釈でも言える ことを証明します。 https://as2.c.u-tokyo.ac.…

僕は、昭和の頃、波動関数(状態)は測定対象系に付属する かのように習いました。 学部で、初めて量子力学を学ばれる方も、最初はそう思う のではないかと思います。 昔の教科書で学ばれた先生にも、まだそう思っている方もいます。 しかし、 波動関数(状態)…

情報量の定義は、明確に書けます。以下の確率ｐと情報量Ｉの関係です。 （ここでいう情報量は、情報エントロピーのことでは、ありません） 情報の定義は、ここでは、 測定して「分からなかったことが、分かる」 ＝観測者の持つ系の知識が増える ＝系の「情報…

量子論で言う「物理量」は、自己共役なエルミート演算子 のことです 平均値＝∫ψ(x)＊Aψ(x) dx や弱値とかのように、測定するのに １個１個の測定結果を保存しあとで、データ処理する「統計的量」 は、物理量に含みません。 統計的量には、測定するのに、波動…

これは「量子状態を持つ個々の粒子から情報を得る」話 とは、全然違います。 ここで、「物理量」「統計的量」「測定」を、↓で定義します。 量子論の「測定」の定義。狭い意味と広い意味 - 墓所の虫 標記の「粒子集団」として、とりあえず コヒーレントでなく…

１．固有値と固有ベクトルの定義 線形変換T：V→V とする。 T(u)＝λu （u∈V u≠０ λ∈R） となるλを固有値と呼び、 uを固有値λに属する固有ベクトルと呼ぶ。 ２．行列の対角化 行列Ｂを線形変換Ｔ(Ｂ)により、対角行列Ａ にすることを 行列の対角化という。 ベ…

簡単です。 まず、シュレーディンガ方程式から「期待値の方程式」を導く - 墓所の虫 により、 d/dt ＜A＞= i/h'＜[A, H]＞ が言えます（Aは時間に依存しない演算子） それで、A=ｘ の場合 d/dt ＜ｘ＞= i/h'＜[ｘ, H]＞ [ｘ, H]＝h'p / i m ∴ ＜ｖ＞＝＜ｐ＞…

シュレーディンガ方程式： ih'∂t ψ＝Ｈψ、 －ih'∂t ψ＊＝(Ｈψ)＊ より、Ａを時間に依存しない演算子として、ψ＊Ａを左から掛けて (ψ＊Ａ)ih'∂t ψ＝ψ＊ＡＨψ Aψ を右から掛けて －ih'∂t ψ＊Aψ＝(Ｈψ)＊Aψ 上から下を引いて ih'(ψ＊Ａ)∂t ψ＋ih'∂t ψ＊Aψ＝ψ＊…

ヒルベルト空間は、ベクトル空間に内積を入れて(追加して) 完備にしたものです。 したがって、 ０ベクトルを含み、c1V≠c2V です。 しかし、状態が成す空間は、

これまでは、単にベクトルとして言ってきましたが 量子力学では、ケットは、縦ベクトル、 ブラは、（同じ次元の）横ベクトルの２つがあり、 <x|ψ>＝ ψ(x) スカラー(の関数) なんてやります。 これが、何故、言えるか考えてみます。 そんなこと、当たり前だろ！！ </x|ψ>…

これは、清水明「新版 量子論の基礎」ｐ108 脚注の問いです。 粒子の集団が「マクロ」と言えるのは、アボガドロ数あれば 異存はないでしょうが、 では、「10＾12 個では？ 10＾6 個では？ 10＾3 個では？」 という問いです。 何故、アボガドロ数あれば十分か…

線形変換 定義：体K上のベクトル空間Vがあって、 写像T：V→Vが、次の条件を満たす時、線形変換という (1) T(u+v)＝T(u)+T(v) u,v∈V (2) T(cu)＝c T(u) u∈V c∈K 要は、線形写像T：U→Vにおいて、V=Uとしたものです。 これを、図で書くと、 U －(A)→ U ｜ ｜ P …