Note9. ベクトルの射影（射影演算子）

内積が定義されたベクトル空間に、
あるベクトル |v＞ と |a＞があって、
|v＞から |a＞に平行な成分を抜き出す操作を
|v＞の |a＞への射影といい、その演算子を射影演算子と呼びます。

平行な成分の値（複素数）は、内積＜a｜v＞　そのものです。
|a＞に平行なベクトル を、|a＞自身とすれば、
射影演算は、|a＞＜a｜v＞　となり、

|a＞への射影演算子は　|a＞＜a| 　です。

射影演算：|a＞＜a｜v＞　では、内積の値はスカラーですから
掛ける順序を逆にしてもかまいません。
したがって、内積の値をｆ(a) とすれば、

ｆ(a) |a＞＝ |a＞＜a｜v＞

と書けます。

射影したものを全て足し合わせれば、元の |v＞ですから

Σa ｆ(a) |a＞＝Σa |a＞＜a｜v＞= |v＞

ということは、Σ_a |a＞＜a|＝１　であり、
これを、完全性関係　といいます。