ベクトルで表せない物理状態（密度行列）

清水明「新版　量子論の基礎」では 混合状態 のことは
書かれていますが、これの密度行列を用いた説明は避けられています。
「新版　量子論の基礎」では、
　　　　純粋状態：　原理的に許される最大限のところまで
　　　　　　　　　　状態を指定し尽くした状態
　　　　混合状態：　どんな物理量を測定しても、２つ以上の純粋状態を
　　　　　　　　　　混合したような確率分布が得られる状態
とあります。簡単に言えば、
純粋状態：　ヒルベルト空間上のベクトルで表される
混合状態：　状態ベクトルでは表すことはできない
　　　　　　（空間を大きくとれば可能）
例えば、重ね合わせ状態のアンサンブルを射影測定すると
１つ１つは純粋状態ですが「順序なしの集合としては混合状態」です。
また、環境の作用で起きるデコヒーレンスにより、混合状態になります。

密度行列の詳細な説明は：
密度行列 - 墓所の虫　

状態ψが２つ以上の異なる純粋状態|v1>、|v2>、、、
のベクトルの和で表されれば、重ね合わせ状態といいます。

簡単のために、v1 と v2 の２つからなる場合、ベクトルの直積：
(√a|v1>+√b|v2>)(√a<V1|+√b<v2|)　
で表わすと、
a|v1><v1| + b|v2><v2| + √{ab} ( |v1><v2| + |v2><v1| )　
になります（係数√{ab} の項が干渉項であり、v1とv2を同時に含む）

一般に、係数√{ab} を c, d とした
a|v1><v1| + b|v2><v2| + c|v1><v2| + d|v2><v1|　　　0 ≦ c, d ≦ √{ab}
（ただし、aが|v1>である確率、bが|v2>である確率、a＋b=1）
のような状態ψを示す行列のことを 密度行列 といいます。