2.1 ポインター測定基底

この記事は、堀田昌寛「量子情報と時空の物理」第２章　量子測定　についてです。
（私が読んで理解したことを書いています。誤りがあれば私の責です）

対象系sと測定器dの合成系では、例えば、スピンの↑↓の測定であれば、
対象系ｓが↑で測定器ｄが↓、またはその逆、は測定器である以上、ありえず、
|ψds> =|↑s>|↑d>＋|↓s>|↓d>
という「対象系の状態と測定器の状態が完全相関」する量子縺れ状態です。

これを実現するハミルトニアンを、フォンノイマンの測定相互作用ハミルトニアン
と呼び、測定器の表示がメータ位置x_d とすると
H(t)＝g(t)A_s ∂x_d　
とします（A_s は、測定する物理量、g(t) は結合定数）
A_s と x_dのヒルベルト空間は、別なので、これらは交換します。
もし、交換しないならば、ｘ_d A_s－A_s x_d≠０　なので
H(t)は、ユニタリーになりません。

そして、（時間発展の計算はテキストを見て頂くとして）
測定相互が、ある時間T働いて、その後は働かないというのがミソです。

結果は、縺れ状態になり、ｇTが十分大きいとすると
測定器のメータの状態が対象系との縺れ状態になり、
A_sの固有値a_n と メータ位置x_dの固有値u_n は、完全相関します。

しかしこれは、x_dの状態を |u_n> と書けると仮定すると
<u_n2|u_n1>＝０
ということにすぎず、
この縺れ状態（＝純粋状態）を密度行列で表した時、
非対角項＝０（干渉成分がない）ことを意味しません。
（非対角項＝０にするのが、射影仮説の１つの役割です）

測定器のメータを、部分系として見ると、もつれ系の部分系は混合状態です
しかし、その密度行列は、合成系の密度行列を「対象系の状態で縮約したもの」
なので、対象系との相関（固有値の対応関係）がなくなっており、
測定としての意味は持ちえません。

測定のこの段階は、スピンの↑↓の測定であれば、
http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/archive/MathSci469%282002%29.pdf
の縺れ状態(5)式に対応する密度行列(8)式　の関係であり、
対象系をｓ、測定器をｄとすると
|↑s><↑s| + |↑d><↑d|
か、
|↓s><↓s| + |↓d><↓d|
かの、どちらかには、なっていません。
どちらかにするのは、射影仮説であり、「測定器の段階」のあとの話です。