測定器を状態が重ね合わせになる量子bit素子とすると

測定対象ｓ、測定器d1、d1をさらに測定するd2、観測者p1, p2の系を考え、
例として、測定対象ｓは、例えば、スピンの↑↓ とします。
測定器d1 は、NTTのネコの実験の量子bit素子：
　　http://www.brl.ntt.co.jp/J/2016/11/latest_topics_201611042223.html
で、その測定結果は「電流の方向」とすると、これは重ね合わせになります。
また、測定器d2 は、マクロな検流計　とします。

観測者p2 にとっては、スピンの↑↓ の普通の測定と同じです。
測定対象ｓと測定器d2 の合成系の状態は：

|↑d2>|↑s> + |↓d2>|↓s>

観測者p1 は、測定器d1 を見る（見えた）とすると、d1 がｓを正確に反映
する測定器なら、ｓと同じ重ね合わせ状態です。
一般に合成系の状態は：

|d1>|s>＝|↑d1>|↑s> + |↓d1>|↓s> + |↑d1>|↓s> + |↓d1>|↓s>

右の２項は、ｓの状態を反映していませんから、確率０　
したがって、ｓと測定器d2 の合成系の状態は：

|↑d1>|↑s> + |↓d1>|↓s>

これは、測定器が「検流計」d2 の場合と同じです。

どこが違うかというと、測定器が「量子bit素子」d1 の場合
１回の測定で、対象ｓの状態が得られる（脳が理解できれば）
一方、「検流計」d2 の場合、個々の測定値はバラツキ、
アンサンブル全体で、やっと　ｓの状態が得られる。
この違いと思います。

上記から、測定器とは何か？を考えると、
測定器が、量子bit素子の場合、電流は左回りと右回りがあるから
その状態は　R²　（連続的なメータなら　R^∞）

測定器が、古典的な場合、電流の左回りと右回りなら　ーか＋　
つまり、０か１。メータの位置でも　R　のある範囲

Rを、R¹　と考えると、ベクトル空間を成し、
内積も定義できますから、これはヒルベルト空間です。
でも、メータの位置x の内積（x1, x2）は１であり、
このx は、１次独立ではないです。
対象系ｓの状態べクトルの場合、１次独立です。

射影測定を、対象系ｓの状態を、ある種メータでの位置x に
射影する操作と考えると、
１次独立ではない＝ベクトル空間の元としては１つ　
なので、どの位置x にも射影される可能性がある　
＝射影測定の結果は、バラバラになる。

これでは、射影される可能性が、対象系ｓの状態ベクトル
のノルムの２乗に比例することまでは、言えませんが、
バラバラになる理由は、こう考えればいいと思います。