[堀田量子] 付録Gの「隠れた変数理論」の謎

堀田先生の「入門/現代の量子力学」では、
付録Gで、CHSH不等式は破らない（-2～+2の範囲）が
１粒子では、量子力学の帰結と同じになる「隠れた変数理論」
が提示されています。
これについて、「レゲット・ガーグ不等式」の評価が
できるかと考えると：
https://mond.how/ja/topics/tsthfhf8fzgx429
＞測定をしても物理量の値は変わらないという前提
があり、
結果が現れる「スクリーン」は、S-G装置の「表示部」でしかなく
「銀原子が受けるノイズの効果は、確率分布と不可分」
というのが本質的です。
つまり、「測定結果は、測定直前でも確定しない」
＝レゲット・ガーグ不等式が成り立たないです。

しかし、レゲット・ガーグ不等式は、隠れた変数理論を含む
局所実在論では成り立たつはずで、
これはおかしいです。ということは、どうも
「付録Gの隠れた変数理論」は、
非局所論のサブセットではないか？　と思うのです。

CHSH不等式を検討している付録G ｐ270の式G25～G28では、
確率分布だけの関係であり
「角度が揃う時、測定値が確率的でなく１００％（反)相関する」
という　より強い相関が入っていません。
量子力学では、この強い相関は
「相反する状態の和（局所の状態）が、測定器に入る」
ことで生じ、この状態の干渉項がCHSH不等式を破ります。

一方、付録Gの隠れた変数理論では、
銀原子が受けるノイズの作用は、
測定結果のｚ軸の上の像と下の像が空間的に離れていても
離れていないのと同じ分布になりますから、
ノイズの作用は非局所的な力です。
なので、「角度が揃う時、測定値が１００％（反)相関する」
を満たすような作用があると仮定しても矛盾は生じないはずです。

したがって、「付録Gの隠れた変数理論」が、
「角度が揃う時、測定値が１００％（反)相関する」は仮定しない
非局所論のサブセット
であれば、理論の整合性がとれることになります。

ベクトルで表せない物理状態（密度行列）

清水明「新版　量子論の基礎」では 混合状態 のことは
書かれていますが、これの密度行列を用いた説明は避けられています。
「新版　量子論の基礎」では、
　　　　純粋状態：　原理的に許される最大限のところまで
　　　　　　　　　　状態を指定し尽くした状態
　　　　混合状態：　どんな物理量を測定しても、２つ以上の純粋状態を
　　　　　　　　　　混合したような確率分布が得られる状態
とあります。簡単に言えば、
純粋状態：　ヒルベルト空間上のベクトルで表される
混合状態：　状態ベクトルでは表すことはできない
　　　　　　（空間を大きくとれば可能）
例えば、重ね合わせ状態のアンサンブルを射影測定すると
１つ１つは純粋状態ですが「順序なしの集合としては混合状態」です。
また、環境の作用で起きるデコヒーレンスにより、混合状態になります。

密度行列の詳細な説明は：
密度行列 - 墓所の虫　

状態ψが２つ以上の異なる純粋状態|v1>、|v2>、、、
のベクトルの和で表されれば、重ね合わせ状態といいます。

簡単のために、v1 と v2 の２つからなる場合、ベクトルの直積：
(√a|v1>+√b|v2>)(√a<V1|+√b<v2|)　
で表わすと、
a|v1><v1| + b|v2><v2| + √{ab} ( |v1><v2| + |v2><v1| )　
になります（係数√{ab} の項が干渉項であり、v1とv2を同時に含む）

一般に、係数√{ab} を c, d とした
a|v1><v1| + b|v2><v2| + c|v1><v2| + d|v2><v1|　　　0 ≦ c, d ≦ √{ab}
（ただし、aが|v1>である確率、bが|v2>である確率、a＋b=1）
のような状態ψを示す行列のことを 密度行列 といいます。

Note9. ベクトルの射影（射影演算子）

内積が定義されたベクトル空間に、
あるベクトル |v＞ と |a＞があって、
|v＞から |a＞に平行な成分を抜き出す操作を
|v＞の |a＞への射影といい、その演算子を射影演算子と呼びます。

平行な成分の値（複素数）は、内積＜a｜v＞　そのものです。
|a＞に平行なベクトル を、|a＞自身とすれば、
射影演算は、|a＞＜a｜v＞　となり、

|a＞への射影演算子は　|a＞＜a| 　です。

射影演算：|a＞＜a｜v＞　では、内積の値はスカラーですから
掛ける順序を逆にしてもかまいません。
したがって、内積の値をｆ(a) とすれば、

ｆ(a) |a＞＝ |a＞＜a｜v＞

と書けます。

射影したものを全て足し合わせれば、元の |v＞ですから

Σa ｆ(a) |a＞＝Σa |a＞＜a｜v＞= |v＞

ということは、Σ_a |a＞＜a|＝１　であり、
これを、完全性関係　といいます。

デルタ整数の実数ベクトルによる表現（実数ベクトルの射影）

初めて読む方は、↓を見て下さい。

kafukanoochan.hatenablog.com

整数ｎに対応するデルタ整数は、δ(x-n) です。
これは、縦・横の実数ベクトルを用いて
δ(x-n) ＝＜n | x＞　　　x,ｎ∈Ｒ
と書けます。
これは、実数ベクトル | x＞における「ｎを取り出す作用素の部分空間」
への射影としても書けます。
δ(x-n) |ｎ＞＝｜ｎ＞＜n | x＞
全ての射影した結果を足し合わせれば、もとのベクトル | x＞ですから
| x＞ = Σn |ｎ＞＜n | x＞＝ Σn δ(x-n) |ｎ＞
同様に、「実数ｐを取り出す作用素の部分空間」に射影したら、
| x＞ = Σp |p＞＜p | x＞＝ Σp δ(x-p) |p＞
= ∫ δ(x-p) |p＞dp
したがって、
δ(x-n) |ｎ＞＝｜ｎ＞＜n | x＞＝｜ｎ＞＜n |(∫ |p＞＜p | x＞dp）
＝∫ |ｎ＞＜n |p＞＜k | p＞dp
＝∫ |ｎ＞＜n |p＞δ(x-p)dp
∴　δ(x-n)＝∫ δ(x-p)＜n |p＞dp

ここで、δ(x)をフーリエ変換で表したら
δ(x)＝∫ exp(-ix p) dp なので
δ(x-n)＝∫ δ(x-p)＜n |p＞dp＝∫ exp{-i(x-n) p}dp
＝∫ δ(x-p) exp{-i (p-n) }dp

波動関数が非局所的と言うのはおかしい（状態ベクトルの射影）

波動関数ψ(q)は、物理量Qの固有空間を { |q＞}とすると、

ψ(q)|q＞ = |q＞＜q|ψ＞

で定義されます。
つまり、状態ベクトルをQの固有空間へ射影したものです。

そして、状態ベクトルは、シュレーディンガ方程式：
ih'd/dt |ψ＞=H |ψ＞
に従って、時間発展するとします（清水明「新版量子論の基礎」要請４）
物理量が位置ｘである時、その波動関数ψ(x, t)は、
ψ(x, t)|x＞ = |x＞＜x|ψ＞
となり、
x1とx2 が、空間的にどんなに離れていても
ψ(x1, t)|x1＞とψ(x2, t)|x2＞は、状態ベクトルの変化と同時に
それぞれ瞬間で定まります。
でもこれは、強い光によってできた遠く離れた壁の光点が
「超光速」で移動するのを、
「壁の光点は非局所的である」と言わないように

「波動関数は非局所的である」と言うのはおかしいです。

相対論的量子力学で、波動関数から、d/dt を計算すると、
この値は、光速度を越えません。
これは、普通の量子力学と異なり、内積に計量テンソルが付き、
diag(-+++) だからです。

上記は、シュレーディンガ方程式による状態のユニタリ発展の場合
でしたが、測定による非ユニタリ発展＝状態の収縮　の場合
も、同じことで
x1とx2 が、空間的にどんなに離れていても
ψ(x1, t)|x1＞とψ(x2, t)|x2＞は、状態ベクトルの変化と同時に
それぞれ瞬間で定まります。
これを、上記と同様「波動関数は非局所的」と言うのがおかしいように

「状態の収縮は非局所的」と言うのはおかしいです。

量子力学、場の理論、超弦理論の共通理論「局所１次元場の理論」

量子力学、場の理論、超弦理論
の違いを基本変数で見ると、、、

量子力学：
　　基本変数が「粒子」の位置や運動量とかの物理量演算子と
　　その正準共役演算子
　　（場の理論との比較で「粒子」と言っています）

場の理論＝多体問題の量子力学：
　　基本変数が x,y,z空間の「真空の励起である場」と
　　それに共役な(x,y,z空間の)一般化運動量の「場」
　　（共に演算子。x,y,z,t は場を指定するパラメータ）

超弦理論：
　　基本変数が、高次元空間の「曲線」
　　（曲線なので局所的には１次元）
　　基本変数は演算子ではなく、
　　それに共役な一般化運動量も考えない（と思います）

そこで、上記の共通セットみたいなものを、量子力学をベースに
考えました。曲線＝局所的には１次元の直線なので、これを
「局所１次元場の理論」
と呼ぶことにします。

つまり、
粒子や場や弦を「短い曲線」の集合とし、 基準変数が x,y,z空間の「局所１次元の曲線」と
それに共役な(x,y,z空間の)一般化運動量の「場」
を考え、この２つに交換関係を設定します。
（共に演算子になります）

この後の理論展開は、とりあえず置いて、
「物理的対象物がない」と言われるでしょうから、
まずは、それを示します。

量子力学の基準変数は「粒子」の物理量です。
１個の粒子は、x,y,z,ct空間では、１本の曲線です。
（波動関数がδ関数であるという意味の「粒子」のことではないです)
これは、「長ーい弦」ということになり、

ここでは、x,y,z空間の回転と、ctを含む空間(時空)でのローレンツ変換を
を統合して「複素角回転」と呼びます。
観測者(複数)は任意な、複素角回転と　x,y,z,ct空間での平行移動
した位置にいるとします。
（もちろん、相対論的因果律は破りません）

教科書の間違い「量子的粒子は、波でも粒子でもある」

波動関数ψ(ｑ)は、状態ベクトルの射影|ｑ><ｑ|つまり
ψ(ｑ)|ｑ＞ =|ｑ＞＜ｑ|ψ＞　
で定義され、
「粒子が持つ状態の情報」を意味します。
これは、「粒子は区別する情報を持たない」と同レベルな話です。

|x＞ への射影の波動関数ψ(x)なら
空間内の１点を占めたり＝デルタ関数
波＝exp(ikx-iwt) になって干渉縞を作ったりしますし、
そもそも、
デルタ関数 δ(x) ＝∫exp{ik(x-x')} dx'＝波の和
波 exp(ikx)＝∫exp(ikx') δ(x'-X)dx'＝デルタ関数の和
なので、
教科書では「量子的粒子は、波でも粒子でもある」
としています（しているものが多い）

しかし、これは「粒子が持つ状態の情報」の話で、
量子的粒子自体は、「粒子」です。

何故なら、理論の「基本変数」を考えると
　（清水明「新版量子論の基礎」ｐ238　参照）
場の理論の「基本変数」は、３次元の場とその共役運動量。
量子力学の「基本変数」については、
運動量ｐ＝-ih'∂/∂ｘ　
なので、ｘは一般化座標になっている。
一般に、正準運動量ｐ＝-ih'∂/∂ｑ　
（一般化座標ｑ＝ih'∂/∂ｐでもある）
であり、基本変数は、一般化座標ｑと正準運動量ｐです。

場の理論の基本変数＝場と比較すれば
量子的粒子は、基本変数が単なる一般化座標なので「粒子」
と言えます。

「粒子」自体と「粒子が持つ状態の情報」は別ということです。

尚、場の理論で「基本変数」を、３次元の場でなく
有限長さの「局所的に１次元の線」にしたら弦理論になるかどうかは
僕では手に負えません、、、

状態がAとBの重ね合せの時「Aである」か「Bである」かという２値論理は適用できない

もちろん、測定したら「Aである」か「Bである」かのどちらかになります
でも、その時は、重ね合せではありません。
この議論は、重ね合せになってる時＝測定前の話です。
したがって、状態A,Bは、２次元ベクトル(α、β) で表されます。

この場合、確実に＝100% 「Aである」を（1, 0）とすれば、
確実に「Bでない」は、β＝０
また、確実に＝100% 「Bである」を（0, 1）とすれば、
確実に「Aでない」は、α＝０
ということになります。

一般の場合の(α、β) において　（α、β≠０）
αが１に近ければ「ほぼAである」とは言えますが、
β≠０なので、確実に「Bでない」は成り立ちません。
逆に、αが０に近ければ「ほぼAでない」とは言えますが、
β≠１なので、確実に「Bである」は成り立ちません。

∴　重ね合せの時「Aである」か「Bである」かという２値論理は適用できません。

前紀世の残務整理（まとめ）

私は、「学生の頃の量子力学への憧れ」いわば「青春の尻尾」を、
５０になって追っかけていたのですが、ほぼ目処がたったので、
ここで「前世紀の残務整理」としてまとめます。

１．∞高さ壁の箱の中のψ(p)

　　　前世紀の教科書は、誤っています。
　　　ｐは、正の一定値と負の一定値　の状態の重ね合わせではありません。
　　　ψ(p)＝ 1/2 (δ(p-p_n) + δ(p+\p_n) ) は誤りで、正しくはψ(x)のフーリエ変換
　　　詳しくは：教科書の間違いー箱の中の粒子の運動量 - 墓所の虫

２．量子力学は非局所論というのは間違い

　　　入門書とかに、位置ｘが -∞～+∞に広がった波動関数が瞬時に収縮すること
　　　（一般に、ｘが広がった波動関数ψ(x)＝＜x|ψ＞が瞬時に変化すること）
　　　を指して「量子力学は非局所論である」 とよく書いてあります。
　　　波動関数は　ψ(x)｜x＞＝|x＞＜x|ψ＞という射影操作で定義されます。
　　　射影ですから、光線が作る壁の光点と同様、情報を伝えません。
　　　任意の|x1＞と|x2＞の波動関数の値には、相関関係はありますが、
　　　因果関係は、ありません。

　　　そもそも、量子論は、局所実在論より広いですが非局所実在論ではないです
　　　詳しくは：俗説の間違いー量子力学は非局所論 - 墓所の虫

３．量子もつれ系で「相手が測定して状態が収縮しても自分の方はまだユニタリ発展」

　　　よくある説明：
　　　「量子もつれでは、関連付いている粒子のもう片方の状態が収縮した段階で
　　　　(その瞬間に)、遠く離れた自分の方(部分系)の状態も収縮する」
　　　は、間違いです。
　　　ベルの不等式が破れるのは、干渉項が０でない故で、
　　　「もう片方の状態が収縮して、その干渉項が０になっても、
　　　　自分の方から見た干渉項がまだ０でない」からです。
　　　波動関数の収縮はパラドクスではない。 - Quantum Universe

　　　よくある説明のように、「自分の方(部分系)の状態も収縮する」
　　　のであれば、その干渉項は０になるので、破れなくなります。

　　　私の説明は、「相手が測定した同時刻に、系全体の状態が収縮」
　　　と一見矛盾するように見えますが、
　　　後者は「あとで測定結果を持ち寄った過去の中でのデータ」においては、
　　　全系の状態が収縮した時点は、相手が測定した時点＝同時刻まで遡れる
　　　ということであり、矛盾しません。
　　　弱測定で、「未来の状態が過去の測定結果に影響する」というのも
　　　「あとで測定結果を持ち寄った過去の中での未来の状態」
　　　おいてであり、この「同時刻に収縮」と同じことです。

４．ボーム理論や多世界解釈を叩き潰したいが（検討中）

　　　３の帰結から、
　　　「相手が測定しても自分の方から見たらまだユニタリ発展(未確定)」
　　　と言えます。
　　　しかし、ボーム理論や多世界解釈が創られた当時は、そうではなく
　　　「相手が測定したら自分の方も即確定（状態が収縮)」と思われていました。
　　　ここから、ボーム理論や多世界解釈は誤りが、導けそうなのですが、、、

６．位置ｘのある範囲での物理量

　　　物理量Aがｘと交換するなら、ある範囲での期待値は意味を持ちますが
　　　位置ｘと交換しなければ、系全体(-∞～+∞の範囲)でないと意味を持たず、
　　　ある範囲を指定して、そこの（付近の）エネルギーや運動量というのは、
　　　意味を持ちません。

　　　トンネル効果や段々のポテンシャルの場合、
　　　系全体のエネルギー値とポテンシャルエネルギーの比較はOKですが
　　　比較が、ある場所でのエネルギー値ではいけないです（付近でもダメ）

７．粒子の数が 10＾23個もあると、古典系＝実在　と見做せる証明

　　　|n>と|n+1>は直交しますが、10＾23個もあるとn－1とn＋1とが
　　　事実上同じになり、
　　　そのため全体系のψ(x1,x2,x3, , ,) が定数と見做せることがミソです。
　　　詳しくは、別途書きます。

８．状態がAとBの重ね合わせの時「値はAであるか、Bであるか」という
　　２値論理は適用できない

　　例えば、「粒子は測定前もどこかの位置(x,y,z)に居る」のか
　　「どこにも居ない」のか
　　という２値論理の命題は意味を持たない（どちらも否定できる）
　　ことが証明できます。
　　　状態がAとBの重ね合せの時「Aである」か「Bである」かという２値論理は適用できない - 墓所の虫

放送大学の教科書「量子物理学」の気になる所

１．p33　下段
　　　(2.15)式　　ΔｘΔｐ_x＞h'/2 の説明：
　　　「これ以上正確に同時測定できない」

　　　は誤り。同時測定なら　ΔｘΔｐ_x＞h'　である(新版量子論の基礎ｐ86)
　　　(2.15)式は、同一状態のアンサンブルに対し、
　　　ｘでの測定、ｐでの測定を別々に行った場合である。

２．p56　上段
　　　「定常波の波長は　λ＝ 4a / n　となる」
　　　「運動量ｐ＝ｈ/ λ　を、、、に適用すると、、、」

　　　結果は正しいが、ｐ＝ｈ/ λ＝nｈ / 4a 　ではない。
　　　この場合のψ(p) は連続関数（ランダウ・リフシッツ「量子力学」p118問題１の解)
　　　であり、飛び飛びの値は、とらない。

３．p76　上段
　　　「クォークの実在が広く受け入れられるようになった」

　　　この「実在」は「仮説ではなく実際の存在」という意味でしょう。
　　　放送大学で、この講義を受ける人は「量子力学」に興味のある方が
　　　多いと思います。そのような方は「素粒子や原子の非実在性」に興味
　　　があると思うので、ここの「実在」という言葉は、誤解をまねくのでは？

４．p117　下段
　　　「一方の粒子のスピンを測定した瞬間に、他方のスピンは、、確定する」

　　　誤解を招く記述です。
　　　測定のあと両者の結果を持ち寄った時、他方のスピンが確定した時刻は
　　　「一方が測定した瞬間」まで遡れるというだけで、
　　　他方の状態が収縮するのは「自身が測定した時」か
　　　「測定結果の情報が伝わった時」です。
　　　それまでは収縮しません(シュレーディンガ方程式に従って時間発展する)

５．p264　中段
　　　「系のエネルギーより大きなエネルギーの中間状態が許される」

　　　短時間ならエネルギー保存則が破れてもよいとか
　　　摂動項はエネルギー保存則が破れるから
　　　という意味なら、間違いです。
　　　前者については、ΔｘΔｐとは、意味が異なります。
　　　 測定時間とエネルギーの測定誤差の間に不確定性関係はない。 - Quantum Universe
　　　後者については、全体系ではエネルギー保存則は成り立っています。
　　　摂動論と、"時間とエネルギーの不確定性関係"という名の幻。 - Quantum Universe

６．p321　中段
　　　「マクロなレベルではシュレーディンガの猫状態は存在しない」

　　　と言い切るのは、おかしいと思います。
　　　ここで引用している1986年の「Yurka - Stoler論文」は、
　　　「コヒーレンス状態でなければ、猫状態は存在しない」と言ってる
　　　だけで、マクロでは、ｔ＝０の瞬間から「コヒーレンス状態でない」
　　　とは、言ってないようです。
　　　すでに、ミクロとマクロの中間的な場合では、
　　　「猫状態」は存在することが、NTTの実験で確かめられています：
　　　https://www.brl.ntt.co.jp/J/2016/11/latest_topics_201611042223.html
　　　（この場合の電流は、検流計で測れる＝マクロな量です）
　　　少なくとも、マクロであるウイルスでは「猫状態」は、
　　　あり得るでしょう。

その他
　(1) 波動関数のちゃんとした定義が書かれていない。
　　　ｑ表示の波動関数は、状態ベクトルの「物理量ｑの固有空間」
　　　への射影、つまり
　　　|q><q|ψ> = f(q)|q>　の　f(q)がψ(q) であり、
　　　それがシュレーディンガ方程式に従って時間発展する。
　　　ということです。
　　　これが書いてないので、学生が
　　　波動関数を単に「シュレーディンガ方程式の解」だと
　　　思ったり、「場」だと思ったりしないか心配です。

　(2) EPR論文やベルの定理の破れ　に言及はしてますが、
　　　「実在性」の説明がないので、
　　　素粒子や原子、分子の局所実在＝「素朴な実在性」は
　　　否定されたということが、学生に伝わらないと思います。

　(3) 波動関数(状態)の収縮については、書いてありますが、
　　　「射影仮説」のことは、書かれていない。
　　　射影仮説は、量子力学の理論的要請(公理)の１つです。
　　　（清水明「新版量子論の基礎」参照）
　　　波動関数(状態)の収縮に触れているのに、射影仮説を
　　　書かないのは、おかしいと思います。