教科書の間違いー箱の中の粒子の運動量

昔の教科書では「壁のポテンシャルが∞の箱」の中の粒子の「ｘ表示の波動関数」は

ψ(x)＝c0 exp(-i ｎπ x/L )+c0 exp( i ｎπ x/L)　　　　　（定義域： -L/2 < ｘ < L/2）

なので、この式を自由粒子の式：　exp(-i Pn x/h' )　と見比べると

運動量Pn＝ｎπh'/L であり

　　　　　　「運動量が　＋PnとーPnである状態の重ね合わせ」

と書いてありました。でも、これは間違いです！

もし、正しければ、運動量ｐ表示の波動関数は

ψ(p)＝1/2 δ(p-Pn) + 1/2 δ(p+Pn) 

ということになりますが、これが間違い、つまり

「運動量が　＋PnとーPnである状態の重ね合わせ」ではないことを示します。

定義域を -L/2～+L/2に定めて、その外は関知しない＝何でもよい　とすると

数学的には定義域は自由にとれます。だからといって、

例えば、壁が有限ポテンシャルでの箱の中の粒子で、

定義域を　－L/2～＋L/2　にするのは、数学上での問題はないはずですが、

テストの時、そうやって解いた答？では点はくれません。

つまり、物理では、定義域は対象系に合わさないといけないということです。

この場合の「壁のポテンシャルが∞の箱」の系では、

ｘの固有ベクトル空間への射影を｜ｘ><ｘ｜とすると

波動関数ψ(ｘ)の定義：　ψ(ｘ)｜ｘ>＝｜ｘ><ｘ｜ψ>　なので

壁の中では、ψ(ｘ)＝０　であるだけで、｜ｘ>自体は定義されます。

したがって、この場合の定義域は　ｘが－∞から＋∞に続く中で

原点付近の±L/2内に粒子があると捉えるべきです。

それで、あるq1表示の波動関数と q1の正準共役量のq2表示の波動関数が従う

一般的な関係から解を求めてみます。

物理量ｑ1の固有ベクトル空間への射影を｜q1><q1｜とすると

波動関数ψ(q1)の定義：　ψ(q1)｜q1>＝｜q1><q1｜ψ>

波動関数ψ(q2)の定義：　ψ(q2)｜q2>＝｜q2><q2｜ψ>

 ｑ1ｑ2 - ｑ2ｑ1＝ ih'　　　　　　（h'＝h/2π）

このψ(q1) とψ(q2) は、フーリエ変換・逆フーリエ変換の関係になっており、

これは、ハミルトニアンに依存しない本質的な関係です。

（定義域を定めてフーリエ級数で解くのはテクニックの話であり本質的ではない）

証明：

｜ψ>＝∫｜q1><q1｜ψ>dq1＝∫ψ(q1)｜q1>dq1

ψ(q2)＝<q2｜ψ>＝∫<q2｜q1>ψ(q1)dq1

ここで　<q2｜q1>＝c1exp(-iq2q1/h') となります。　　　　←証明は後日

q2/h' をｋと置くと

ψ(ｋ)=c2∫ψ(q1)exp(-ik q1)dq1　つまりψ(q2)は、ψ(q1)のフーリエ変換！

//

今の場合は　q1=ｘ、ｋ＝ｐ/h' 　なので

ψ(p)＝c1∫ψ(x)exp(-ipx/h')dx

＝c1∫_{-L/2}^{+L/2} cos(ｎπ x/L)exp(-ipx/h')dx

＝c1 sin(pL/2h' -n π/2)/(pL/h' -n π) + c1 sin(pL/2h' +n π/2)/(pL/h' +n π)

たとえば、ｎ＝１の場合

＝ - c3 cos(pL/2h')/(p - πh'/L) + c3 cos(pL/2h')/(p+πh'/L) 

これは、ｐ＝ ± πh'/L　で有限値で　　

≠ 1/2 δ(p+πh'/L) + 1/2 δ(p - πh'/L) 　です。

∴　運動量は連続した値であり「ーPnと+Pnの状態の重ね合わせ」ではない！