デルタ整数の実数ベクトルによる表現（実数ベクトルの射影）

初めて読む方は、↓を見て下さい。

kafukanoochan.hatenablog.com

整数ｎに対応するデルタ整数は、δ(x-n) です。
これは、縦・横の実数ベクトルを用いて
δ(x-n) ＝＜n | x＞　　　x,ｎ∈Ｒ
と書けます。
これは、実数ベクトル | x＞における「ｎを取り出す作用素の部分空間」
への射影としても書けます。
δ(x-n) |ｎ＞＝｜ｎ＞＜n | x＞
全ての射影した結果を足し合わせれば、もとのベクトル | x＞ですから
| x＞ = Σn |ｎ＞＜n | x＞＝ Σn δ(x-n) |ｎ＞
同様に、「実数ｐを取り出す作用素の部分空間」に射影したら、
| x＞ = Σp |p＞＜p | x＞＝ Σp δ(x-p) |p＞
= ∫ δ(x-p) |p＞dp
したがって、
δ(x-n) |ｎ＞＝｜ｎ＞＜n | x＞＝｜ｎ＞＜n |(∫ |p＞＜p | x＞dp）
＝∫ |ｎ＞＜n |p＞＜k | p＞dp
＝∫ |ｎ＞＜n |p＞δ(x-p)dp
∴　δ(x-n)＝∫ δ(x-p)＜n |p＞dp

ここで、δ(x)をフーリエ変換で表したら
δ(x)＝∫ exp(-ix p) dp なので
δ(x-n)＝∫ δ(x-p)＜n |p＞dp＝∫ exp{-i(x-n) p}dp
＝∫ δ(x-p) exp{-i (p-n) }dp