Note11．完備な内積空間（ヒルベルト空間）

K上のベクトル空間とは、和とスカラー倍が定義された空間(集合)で
　　　（f+g)（v）＝ｆ(ｖ）＋ｇ(V）　　 (ｆ,ｇ∈V　ｖ∈V)
　　　 (ｃｆ)（v）＝ｃｆ(V）　　　　　 (ｃ∈K)
　　　　V　≠　φ　　
が成り立つVです。
（スカラー倍といっても、ｃは逆数でもいいので割り算も有りです)
したがって、Kが、自然数や整数では、割り算が閉じませんから
Kは、有理数Q、実数R、複素数C のいずれかです。

ここで、Kが有理数のベクトル空間Q＾2 を考えると
（１，０）と（０，１）の和は（１，１）で　∈ベクトル空間
ですから、ベクトル空間としては、何の問題もないですが、
内積空間の定義：
　　　Note10．内積空間（標準内積とエルミート内積） - 墓所の虫
から言うと
（１，１）の自分自身との内積は、√２で、（√２、０）というベクトルは
Q＾2　に含まれません。
一般に、内積の値を要素に含むベクトルが、その内積空間に含まれない場合、
「完備でない」といい、（Kが、ＲやＣ　なら「完備」）
Q＾n を、Ｒ＾n とかにすることを「完備化」といいます。
特に、完備なを内積空間をヒルベルト空間と呼びます。

完備化の方法
　　略（参考：距離空間の完備化（１） - 墓所の虫）

ヒルベルト空間

ヒルベルト空間Ｒ＾∞やＣ＾∞のベクトルの濃度は、
非加算個なので、その基底の濃度も非加算個のような気がしますが
基底の和を考えるとベクトルの濃度は、非加算個になり、
基底の濃度は加算個でも、OKです。

内積の値が∞のベクトルは、内積空間には入りません。
物理の話になりますが、
状態ベクトル｜ψ＞の位置の固有空間への射影｜ｘ＞＜ｘ｜は
｜ｘ＞＜ｘ｜ψ＞＝f(x)｜ｘ＞であり、
位置が１つの値をとる場合、f(x)はδ関数になります。
また、＜x1｜x2＞＝δ(x2-x1) ですから、
位置｜ｘ＞のような、連続固有値をもつ固有空間のベクトルは
ヒルベルト空間には入りません。