波動関数の定義は＜q|ψ＞なので、スピンにも波動関数が言える

スピンには、波動関数はないとよく言われます。
しかし、スピンの状態が１つの固有状態に収縮して値が
確定した時は、スピンの確率密度が、その値の所で
δ関数になります。
確率密度は、一般にψ＊(q)ψ(q) ですから、
スピンにも波動関数が言えるはずです。
（確率密度のδ関数の２乗は「位置表示」の場合と同様適宜 定義されるとします）

まず、波動関数ψ(q)の定義は、物理量qの固有空間への
射影｜q＞＜q｜から
ψ(q) |q＞=｜q＞＜q｜ψ＞
ψ(q)＝＜q｜ψ＞
で定義されます。
（シュレーディンガ方程式の解だけではありません）
物理量qが連続固有値をとる場合、
＜q’｜q ＞＝δ(q - q’) なので、ψ(q)が δ関数になる場合があります。
この場合、確率密度のδ関数の２乗は、物理では適宜 定義される
とする必要があります。

例：
よくある「位置表示の波動関数ψ(ｘ) 」は
ψ(ｘ) |ｘ＞=｜ｘ＞＜ｘ｜ψ＞
「運動量表示の波動関数ψ(ｐ) 」は
ψ(ｐ) |ｐ＞=｜ｐ＞＜ｐ｜ψ＞

それで、スピンの場合
物理量σz, σy, σ_x の１つ１つに対して、
その固有空間｛ |ｓ＞｝への射影 |ｓ＞＜ｓ| から
ψ(ｓ) |ｓ＞= |ｓ＞＜ｓ｜ψ＞
のψ(ｓ)が、スピンの波動関数と言ってよいはずです。

具体的には、ｚ方向でのスピンの状態が
a |+＞＋b |- ＞の場合、スピンの値は＋1/2 と - 1/2 なので
波動関数ψ(ｓ)＝＜ｓ| ( a |+＞＋b |- ＞ )
は、ｓ軸上の＋1/2 と - 1/2 の点にピークがある２つのδ関数の和
つまり、この場合の スピンの波動関数は
ψ(ｓ) = a δ(s - 1/2) + b δ(s + 1/2)
となります。
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