墓所の虫

.    「新版 量子論の基礎」と「量子情報と時空の物理」をベースに書いていますが、間違いをよくやります。まず眉にツバをつけてw

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大学教育は危機に瀕しています! 


私は言葉の使い方が下手なので、おかしいと思う文章は式に合わせてお読み下さい。
尚、新理論や独自理論を唱えるつもりはありませんが、アイデアの提案はしています。


テンソル積

1.ベクトルのテンソル積とは何か?

   ブラ・ケット表記では、ベクトル|A>と|B>のテンソル積は、
   |B>|A> と書きます。
   ベクトル(=1階のテンソル)どおしのテンソル積は、
   一般に2階のテンソルになります
   通常は、|B>や|A>の右に、「空間を指定する添え字」を付けます。
   テンソル積を、直積と書いてある本もあります。

   便宜的に、横ベクトルと縦ベクトルを、ブラとケットで書くと、
   (ブラ空間はケット空間より大きいので、厳密には、横ベクトル≠ブラです)
   |A>が、 
   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 \matrix(a;b) 
   |B>が、
   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 \matrix(c;d) 
   とすると、
   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 \matrix(c¥、<¥!A|;d¥、<\!A|)
   https://rhcpf907.sakura.net.jp/fml2tex?式 =\matrix(ca、cb;da、db)
   となり、結果は行列です。
   行列では、状態「ベクトル」と言えないと思われるでしょうが、
   |B>|A> を、表記どおり計算して、
   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 \matrix(c¥、|A¥!>;d¥、|A¥!>)
   とすると、
   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 =\matrix(ca;cb;da;db)
   という単なるベクトルになるので、2階のテンソルの形でも、
   実態は、状態「ベクトル」である ということが言えます。

2.何故、テンソル積を使うか?

   スピン1/2の粒子と、スピン1の粒子があった場合、
   ある方向を基準にすると、
   それぞれ、|+1/2>、|-1/2>と、|+1>、|0>、|-1> で、
   合成系での状態の自然な表現は、
   |+1/2, +1>、|+1/2, 0>、|+1/2, -1>、|-1/2, +1>、|-1/2, 0>、|-1/2, -1> 
   です。
   つまり、合成系の状態の自然な表現は、
   「各々の粒子の状態の内の1つをとる状態を、合成系が含む」
   ということですから、テンソル積になります。
   一般に、n状態とm状態の合成系は、n・m状態になります。

3.テンソル積の性質

 (1) テンソル積は線形である。
     a, b∈C、状態ベクトルψ1,ψ2∈H1、ベクトルφ∈H2 とすると、
   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 (aψ1+bψ2) ¥otimes φ=(aψ1)\otimesφ+(bψ2)\otimesφ 
      https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 φ\otimes(aψ1+bψ2) =φ\otimes(aψ1)+φ\otimes(bψ2) 

   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 a(φ\otimes ψ)=(aφ)\otimes ψ=φ\otimes(aψ) 

 (2) ベクトルψ1∈H1,ψ2∈H2、合成系Hのベクトルをφ とすると、
   φ∈H には、どのようなψ1、ψ2の2項だけの積にもならないものがある
   (Entangled状態)
   ただし、どのようなφも、ベクトルの和や積で表すことができる。

 (3) ベクトルψ1,φ1∈H1、ψ2,φ2∈H2、とすると、
   テンソル積|ψ1>|ψ2>と|φ1>|φ2> の内積は、内積の記法(a、b)を用いて、
   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex?式 (|ψ1>|ψ2>、|φ1>|φ2>)=(ψ1、φ1)_{H1} (ψ2、φ2)_{H2} 
   と定義される。