ファインマン核Kの固有関数での展開
ファインマン核Kの計算は、
です。
Kによって、任意時刻tのψ(x,t)が計算できるのですが
多重積分を計算しなければならず、たいへんです。
ハミルトニアンの固有関数がわかっていれば、
それを用いて Kを表すことができます。
そうすれば、計算の手間が、かなり省けます。
それで、ファインマン核Kの固有関数での展開について書きます。
(タネ本は、森藤正人「量子波のダイナミクス」p25です)
で、状態ベクトルの時間発展は、初期状態|ψ0>に
時間発展演算子 exp(-iH/ h’) を作用させることで、
と記述される。これは U(t)の定義:|ψ(t) > = U(t)|ψ(0) >より
となる。
( https://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/64144474.html 参照)
これに、完全性関係 Σ|φi><φi|=1 を挿入すると、
ここで、Eiが、φi に対応した固有値とすると、
となる。(連続固有値の場合は 積分)
この|ψ(t)>を、ベクトル|x> に射影すると波動関数が得られる。
つまり、
両辺から|x> を落として考えると、
ここに、完全性関係 Σ|x0><x0|=1 を挿入すると、
xは、連続なので、Σは∫になり、
この式を、一番上のψ(x、t)= の式と見比べると、