３．経路積分　突撃開始！

　　タネ本は、森藤正人「量子波のダイナミクス」です。
　　内容は、とね日記さん： http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/20dea8ac600f55f0c79934c6342e8c5c
　　を見てください。

１．まず、Hが時間に依存しない場合、時間発展演算子が、U(t)＝exp(H t/ih) と書けることの証明
　　　　　　（　清水明「新版　量子論の基礎」ｐ184　参照）
　　　　U(t)の定義は、

　　　　　　　　　　　｜ψ(t) >　＝　U(t)｜ψ(0) >　　　　　　　このU(t)は、「状態ベクトルのシュレーディンガ方程式」を満たす
　　　　証明：　i h' {∂/∂t}U(t)－H　U(t) ＝ 0 とおき、
　　　　　　　左辺に右から｜ψ(0) >　を掛ければ、
　　　　　　　i h' {∂/∂t－H｝U(t)｜ψ(0) >
　　　　　　　＝ i h' {∂/∂t－H｝U(t)｜ψ(0) > ＝ i h' {∂/∂t－H｝｜ψ(ｔ) >
　　　　　　　＝　０　　　　　//
　　　　つまり、

　　　　 $https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 i \hbar {∂ \over{∂t}}U(t)={H　U(t)}$

　　　　である。
　　　　　これを解くための初期条件は、U(t)の定義式で、｜ψ(0)　>　＝　U(t)｜ψ(0)　>　と置くことにより

　　　　形式的に、i hbar {∂/∂t}U(t)＝　H　U(t)とおけば、目視でとけて、U(t)＝exp(Ht/ih)
　　　　（expの中に演算子があるが、これについては、「新版　量子論の基礎」ｐ59の「演算子の関数」を参照)

　　　　したがって、t0からｔまでの時間間隔に対するUは、　　　　　　　　　　　 $https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 U(t-t0)=e^{ H（t-t0）/ih}$

　　　　となる。

２．ファインマン核を、TとVで表現する　（H＝運動エネルギー演算子T　＋　ポテンシャルV）

　　　　t0からｔまでの時間間隔をN個の微小な区間εに分割すると、１より、

　　　　 $https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 U(t-t0)=e^{（T+V）εN/ih}＝{（e^{（T+V）ε/ih}）}^N$

　　　　となる。T　と　V　は、交換しないことに注意
　　　　この場合、exp(Tε)exp(Vε)=exp(Tε+Vε+[T V]ε² /2) が成り立つ（　[ ]は交換子。結果がｃ数の場合）
　　　　証明は、省略（　タネ本「量子波のダイナミクス」ｐ41　にある）
　　　　で、εが十分小さいなら、　　　　　　　　 $https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 U(t-t0)=￥lim_{N→∞}{（e^{Tε/ih}）}^N{（e^{Vε/ih}）}^N$