シュレーディンガ方程式からエーレンフェストの定理を導く

簡単です。
まず、シュレーディンガ方程式から「期待値の方程式」を導く - 墓所の虫
により、
d/dt ＜A＞= i/h'＜[A, H]＞ が言えます（Aは時間に依存しない演算子）
それで、A=ｘ　の場合
d/dt ＜ｘ＞= i/h'＜[ｘ, H]＞
[ｘ, H]＝h'p / i m
∴　＜ｖ＞＝＜ｐ＞/m

A=ｐ　の場合
d/dt ＜ｐ＞= i/h'＜[ｐ, H]＞
[ｐ, H]＝ - h'/i dV/dx
＜ｍa ＞＝－dV/dx＝－＜∇Ｖ＞

＝＜Ｆ＞と置くと
古典力学では　Ｆ＝ｍa が常に成り立つので
Ｆの平均値＝ｍa の平均値　も常に成り立つ
系に働く力が、ポテンシャルによるものだけとすると
Ｆ＝－∇Ｖ　であり、
Ｆの平均値＝－∇Ｖの平均値＝ｍa の平均値
　 が成り立つ
したがって、シュレーディンガ方程式から出てくる
＜ｍa ＞＝－＜∇Ｖ＞は、古典力学の平均値での式に一致する

オイラー・ラグランジュ方程式は常に成り立つので
その平均値での式も常に成り立つ。
つまり、
d/dt ＜∂Ｌ/∂v ＋ ∇Ｌ＞ = 0　
である。
ここで、Ｌ＝1/2 mv＾2 ＋ V　とすると
d/dt m＜v＞＋＜∇Ｖ＞＝０　
∴　m＜ａ＞＝－＜∇Ｖ＞　

したがって、シュレーディンガ方程式から出てくる　
ｍ＜a ＞や－＜∇Ｖ＞は、オイラー・ラグランジュ方程式に従う
ということは、これらの期待値に対しては「最小作用の原理」が
成り立つと言える
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