Note10．双対空間（縦ベクトル・横ベクトル）

これまでは、単にベクトルとして言ってきましたが
量子力学では、ケットは、縦ベクトル、
ブラは、（同じ次元の）横ベクトルの２つがあり、
　　　　<x|ψ>＝ ψ(x)　　　スカラー(の関数)
なんてやります。
これが、何故、言えるか考えてみます。

そんなこと、当たり前だろ！！　と言われると思いますが、
縦ベクトル|ψ>に「何か」して、スカラーという「別のもの」になる
ということは、
　　　　「何か」は写像です。
　　　　始めから「横ベクトルを掛ける」とは、決めつけられません
（最終的には、これが「横ベクトルを掛ける」であることを示しますが)

１．双対空間
　　　　　Kを体とする（例えば複素数体）つまり、スカラーというのがミソ
　　　　　VをK上のベクトル空間とする　（空間です。ベクトルではない）
　　　　　VからKへの線形写像ｆを、Vの線形汎関数という。
　　　　　（何故、汎関数かというと、対象が個々のものでなく空間全体だから）
　　　　　で、このｆの全体をVと書き、双対空間　と呼ぶ。
　　　　　（線形汎関数の像＝Vの元＝ベクトル）

２．したがって、横ベクトルの成す空間は、縦ベクトルの「双対空間」である。
　　　　　双対というからには、縦と対になるのは横しかないじゃないか！
　　　　　というのは、数学ではないｗ

３． 双対空間Vは、
　　　　　和とスカラー倍が定義される（これは、ベクトル空間の定義）
　　　　　　　（f+g)（ｖ）＝ｆ（ｖ）＋ｇ（ｖ）　　 (ｆ,ｇ∈V　ｖ∈V)
　　　　　　　（ｃｆ）（ｖ）＝ｃｆ（ｖ）　　　　　 (ｃ∈K)　　
　　　　　　　　V　≠　φ　　
　　　　　したがって、Vは、K上のベクトル空間である。

４．補題　（三宅敏恒「線形代数学」　定理７.1.５）
　　　　　体k上のベクトル空間Uからベクトル空間Vへの
　　　　　線形写像全体の集合をHom(U、V)　と書く。
　　　　　Dim(U)＝ｎ　　Dim(V)＝ｍ　とすると、
　　　　　Hom(U、V)は次元がｍｘｎであるベクトル空間となる。
　　　　　　（証明は略）

５．補題 ４より、双対空間Vは、
　　　　　V＝Hom(V、K)　は、K上のベクトル空間で、
　　　　　Dim(K)＝１（つまり、スカラー）であるから、
　　　　　Dim(V)＝Dim(V)　となり、
　　　　　Vの表現を、縦ベクトルとすれば、ベクトルの掛け算の定義から
　　　　　Vの表現は、横ベクトルとなる。