Note７．表現行列

１．表現行列　
定義：　
　　Tがベクトル空間UからVへの線形写像とする。
　　Uの基底を｛u1,,,un}、 Vの基底を｛v1,,,vm} に選ぶ。
　　T(u1)、、、T(un)　は、Vのベクトルであるから　
　　v1,,,vmの１次結合で書ける。
　　これを、行列Aを用いて、
　　　　T(u1)、、、T(un)＝（v1,,,vm)A　　　Aはｍｘｎ行列
　　と表した時、
　　行列Aを　Uの基底｛u1,,,un｝、Vの基底｛v1,,,vm｝に関する
　　Tの表現行列である　という。

説明：　
　　T；U→Vという線形写像があった時、標準基底のTでの「行き先」
　　を計算すれば、行列の掛算でTを表せる
　　この時、
　　（u1,,,un）→（v1,,,vm）　
　　　　　T(u1)＝a11v1+a21v2+、、、am1vm
　　　　　T(u2)＝a12v1+、、、、、、、am2vm
　　　　　：
　　　　　T(un)＝a1nv1+、、、、、、、amn
　　まとめると、
　　T(u1)、、、T(un)＝（v1、、、vm）(a11、、、a1n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　am1、、、amn)
例１
　　T(x)＝（２，４，１　　　　ｘ：R³→R²
　　　　　１，５，３）
　　において、R³の基底 u1=(1;0;1) u2=(1;2;2) u3=(0;1;1)、
　　R²の基底 v1=(1;2) v2=(2;3)　
　　これを、例えば、
　　（２，４，１　　　（1；0；1)＝a11v1 + a21v2 と書きたい
　　　１，５，３）
　　これは、単純には、連立方程式で　a11,a21を求めればよい。
　　a12,a22やa31,a32も、同様に求められる。

上記の方法を形式的に記述する。

　(1)　恒等写像の導入
　　　　T：V→V　でT(x)＝ｘ　
　　　　これは、線形写像の定義を満たす。
　　　　常に、単位行列の掛算になるように思えるが、
　　　　写像先の基底が違えば、単位行列ではない。

　(2)　変換の関係
　　　　　U　－(A)→　V　
　　　　　｜　　　　　 ｜　
　　　　　P　　　　　　Q　　　　　　P,Q：恒等写像
　　　　　↓　　　　　　↓　
　　　　　U　－(B)→　V　

　　　Tは、Aを掛けるものとすると、それは
　　　「まずPを掛け、Bを掛け、その後Q^-1を掛けたもの」
　　　に等しいことが、この図から言える
　　　これは、ちょうど例１の手順を表している。
　　　つまり、
　　　　　　　A＝Q^-1BP

２．線形変換
　　　T：U→U　を、線形変換と呼ぶ。
　　　これを、上の図で書くと、
　　　　　U　－(A)→　U　
　　　　　｜　　　　　 ｜
　　　　　P　　　　　　P　　　P：恒等写像
　　　　　↓　　　　　　↓
　　　　　U　－(B)→　U
　　　これから、
　　　　　　　A＝P^-1BP