Note５．線形写像

線形写像とは、ベクトル空間のベクトルを変換して新しいベクトル空間に
写像(Map)するものです。
(線形変換とは、新しいベクトル空間でなくて元の空間の場合)

線形写像
　　定義：R上のベクトル空間U、Vがあった時、この間の写像T:U→Vが
　　　　　次の条件を満たす時、線形写像という。
　　　　　　(1) T(u+v)＝T(u)+T(v)　　　　 u,v∈U
　　　　　　(2) T(cu)＝c T(u)　　　　　　 u∈U　c∈R
　　註：　
　　　　T:U→Vと書いただけで、T(u)＝u' T(v)＝v'　u',v'∈V u,v∈U
　　　　を意味する。
　　　　多項式の集合は、ベクトル空間であるから、
　　　　多項式の微分・積分は、線形写像である。
　　　　多項式のフーリエ変換も線形写像と言えると思います。
　　例１
　　　　　０：U→V　　零写像（どんなu∈Uも ０∈Vに写像する）
　　例２
　　　　　Aを mｘn行列とすると、TA：Rⁿ→R^m　　行列の掛算
　　 命題１　　零元の線形写像T:U→V　は、零元である
　　　　　つまり　T(0 in U)＝0 in V
　　証明：
　　　　　0・０in U＝０in U　である
　　　　　この両辺にTを作用させると、
　　　　　T(0・０in U)＝T(０in U)
　　　　　定義より、T(0・０in U)＝0・T(０in U)＝０ in V
　　　　　∴　０ in V＝T(０in U)
　　//
　　疑問　T(０in U)＝V上の何か　つまり、
　　　　　写像には　最低１個の対応関係が必要では？

命題２　　有限次元のベクトル空間U、V間の線形写像は、
　　　　　行列の掛算TAで表現できる。
　　証明：
　　　　　T：Rⁿ→R^m　という線形写像があったとする
　　　　　T(（x1;x2;,,,xn）)は、標準基底で展開すると、
　　　　　＝T(　x1(1,0,,,0)+x2(0,1,0,,,0)+,,,+xn(0,,,1) )
　　　　　＝T(x1(1,0,,,0)　）+T(x2(0,1,0,,,0)　）+,,,+T(xn(0,,,1)　）
　　　　　＝x1・T(（1,0,,,0)　）+x2・T(（0,1,0,,,0)　）+,,,+xn・T(（0,,,1)　）
　　　　　ここで、T(（1,0,,,0)　）、、、を、
　　　　　それぞれ、a1、、、an と書き、
　　　　　A＝(a1、、、an)とおくと、Aを掛けること、
　　　　　つまりTAは、
　　　　　TA(1,0,,,0)＝a1＝T(（1,0,,,0)　）
　　　　　　　：
　　　　　ｎ番目まで同様
　　　　　したがって、TA＝T　である
　　//