Note８．固有値と固有ベクトル(固有空間)、対角化

１．固有値と固有ベクトルの定義
　　　線形変換T：V→V　とする。
　　　T(u)＝λu　　　（u∈V　u≠０　λ∈R）
　　　となるλを固有値と呼び、
　　　uを固有値λに属する固有ベクトルと呼ぶ。

２．行列の対角化　
　　　行列Ｂを線形変換Ｔ(Ｂ)により、対角行列Ａ　にすることを
　　　行列の対角化という。

　　　ベクトル空間Vの基底を　u1、u2、、、uN　とする。
　　　この時　Ｔ(ui)＝λui（つまりＴの固有ベクトル）となっていたなら
　　　Ｔ　を行列で表すと、対角要素を　λi　とする対角行列Ａになる。
　　　この行列A　は、図で書くと、
　　　　　U　－(A)→　λU　
　　　　　｜　　　　　｜
　　　　　P　　　　　　P　　　P：恒等写像
　　　　　↓　　　　　　↓
　　　　　U　－(B)→　U　
　　　の関係であり、
　　　左上端から右上端に行ったのと、下を通って行ったのが
　　　同じ結果になることから、
　　　　　　　Ａ＝Ｔ(Ｂ）＝P^-1BP　　
　　　が言える。
　　　この　対角行列Aを求めることは、即ち　P^-1BPの行列P
　　　を求めることに等しい。
　　　Ｐは、上記より、（u1、u2、、、uN）という行列となる。
　　　特に、A、Pが実数行列なら「Bは実数体上で対角化される」という。

　　　実際の対角化計算は、行基本変形 で行うのが普通です。
　　　線形代数のEssence 05-1.行列の基本変形（前編） - YouTube

３．固有空間の定義
　　　１において、固有値λに対して、
　　　集合W(λ、T)＝｛u∈V｜T(u)＝λu｝とおき、
　　　このWをTの固有値λの固有空間という。

問題5.3-5（ｐ105）
　　　２において、W(λ、T)は、Vの部分空間となることを示せ。
　　　証明：　部分空間となる３条件を示せばよい。
　　　　　条件１　T(０)=０ - λ０ であるから　０∈W(λ、T)　
　　　　　条件２　u,v∈W(λ、T)とする。T(u＋v)＝T(u)＋T(v)＝λ(u＋v)
　　　　　　　　　したがってu＋v∈W(λ,T)　
　　　　　条件３　ｃ∈Rとする。T(c u)＝T(c u)＝λ(c u)　
　　　　　　　　　したがって c u∈W(λ,T)　
　　　//

４．固有多項式
　　　定義：　nｘnの正方行列Aに対し、
　　　　　gA(t)＝｜tE - A|　　
　　　　　という行列式の結果の多項式を固有多項式という。
　　　　　gA(t)の根　λ1、λ2、、、λn　が　行列Aの固有値になる
　　　証明：　
　　　　　ｖを固有値λの固有ベクトルとする。つまり、Aｖ＝λｖである。
　　　　　したがって、（tE - A）＝０　となる。
　　　　　ｖは０ベクトルでないので、｜tE - A|＝０でなければならない。

５．特別な行列の対角化

　　　エルミート行列
　　　定義
　　　　　・Aは、正方行列である
　　　　　・A＝A＊　が成り立つ（A＊とは複素共役をとって転置）
　　　この定義が成り立つ実数行列を 対称行列 と言います。
　　　エルミート行列と対称行列をまとめて対称行列と呼ぶ文献
　　　もあります。

　　　定理9.2.2　エルミート行列の固有値は実数である
　　　証明　（後日）

　　　ユニタリ行列
　　　定義
　　　　　・Uは、正方行列である
　　　　　・U＊U＝I　が成り立つ（U＊とは複素共役をとって転置）
　　　この定義が成り立つ実数行列を 直交行列 と言います。

　　　定理9.2.10　ユニタリ行列Uは、エルミート行列Aを対角化する
　　　　　　　　U＾-1 A U は、対角行列になる。
　　　証明　（後日）