演算子の関数

時間発展の演算子：U(t)＝exp(H　t/ih’) ですが、
これは「ハミルトニアン演算子の関数」です。
この記事では、演算子の関数について書きます。
（演算子の関数では、例えば、微分演算子の√とかも考えることができます）

タネ本は、清水明「新版　量子論の基礎」ｐ57の「スペクトル分解と演算子の関数」です。

１．まず、演算子Aのｎ乗

　　　　　Aⁿ　＝　AAAAA、、、　（ｎ個）
　　　　　A⁰　＝　１　　　　　　（１は、Aが行列表現なら単位行列）

　　　　　とすれば、演算子の積として矛盾はない。 　　　　　

２．演算子A、Bの線形結合の定義

　　　　　c1、c2　を任意の複素数とすると
　　　　　（c1A + c2B）|ξ>　＝　c1A|ξ> + c2B|ξ>
　　　　　により定義する。

３．以上から、演算子の任意の多項式

　　　　　ｃ０＋c1A + c2A²＋c3A³＋、、、
　　　　　が定義できる。

４．任意の演算子Aは、正規直交完全系を成すベクトルaへの射影演算子|a><a†|の線形結合で表すことができる
　　　証明：
　　　　　　Aの左右に１（行列表現なら単位行列）を掛けても変わらない。
　　　　　　完全性定理より、１＝Σ{a}|a><a|＝Σ{a†}|a†><a†|
　　　　　　したがって、
　　　　　　A＝１A１＝Σ{a†}Σ{a}　|a><a|A|a†><a†|
　　　　　　　＝Σ{a†}Σ{a}　<a|A|a†>　|a><a†|
　　　　　　　ここで、<a|A|a†>　は、数である　//

５．４において、Aが自己共役演算子なら、
　　その固有ベクトルａは、完全系を成すので、
　　固有ベクトルａで作られる射影演算子|ａ><ａ|　の線形結合で
　　表すことができる
　　これを「スペクトル分解」という。

　　この場合、係数<a|A|a†>は、クロネッカδ_{a、a†}なので
　　固有値をαとすると、
　　　　　A＝Σ{a}　α　|a><a|
　　と表せる。
　　意味は、A|ξ>＝Σ{a}　α　|a><a｜ξ>　を考えると
　　|a><a｜ξ>　は、|a>に平行な成分であり、
　　それに、固有値を掛けることは、Aを演算すること
　　と同じである。

６．３および５より、関数ｆ(α)に対して、
　　自己共役演算子Ａの関数f(A）を

　　　　　f(A)　＝　Σ{a}　f(α）|a><a|

　　と定義できます（これで計算もできます）

例：　　
　　　√A　＝　Σ{a}　√α　|a><a|　
　　　exp(i H) ＝　Σ{a}　exp(iα）|H><H|