墓所の虫

.    「新版 量子論の基礎」と「量子情報と時空の物理」をベースに書いていますが、間違いをよくやります。まず眉にツバをつけてw

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大学教育は危機に瀕しています! 


私は言葉の使い方が下手なので、おかしいと思う文章は式に合わせてお読み下さい。
尚、新理論や独自理論を唱えるつもりはありませんが、アイデアの提案はしています。


線形変換と群(一般線形群)

線形変換
  定義:体K上のベクトル空間Vがあって、
     写像T:V→Vが、次の条件を満たす時、線形変換という
      (1) T(u+v)=T(u)+T(v)     u,v∈V
      (2) T(cu)=c T(u)       u∈V c∈K
  要は、線形写像T:U→Vにおいて、V=Uとしたものです。
  これを、図で書くと、
     U -(A)→ U 
     |      |
     P      P   P:恒等写像
     ↓      ↓
     U -(B)→ U
  これから、
     A=P^-1B P
     B^-1P A=P
  ということは、Tのすべての元に逆元が定義されている必要
  があります。
  A=P^-1B P より、P^-1 PをI とすると
     AI=IA=A
     A=I^-1A I
  ですから、I は、単位行列です。

群の定義
  集合Gがあって、
  (1) A、B∈G の時、ABも ∈G
  (2) A, B, C∈G の時、(AB)C=A(BC) 
  (3) I, A∈G の時、AI=IA=A
  (4) A∈G で(3)のIにおいて、 A^-1 A=A A^-1=I
    というAに対応するA^-1が ∈G 
  尚、ABという演算が足し算の時は加群といいます。

したがって、上記 線形変換は群を成します。
これを、一般線形群 といいます。

一般線形群の部分群

   (詳しくは後日)
  (特殊)ユニタリ群
  回転群
  ローレンツ

  フーリエ変換は、ユニタリ群の部分集合ですが群ではない