線形変換と群(一般線形群)
線形変換
定義:体K上のベクトル空間Vがあって、
写像T:V→Vが、次の条件を満たす時、線形変換という
(1) T(u+v)=T(u)+T(v) u,v∈V
(2) T(cu)=c T(u) u∈V c∈K
要は、線形写像T:U→Vにおいて、V=Uとしたものです。
これを、図で書くと、
U -(A)→ U
| |
P P P:恒等写像
↓ ↓
U -(B)→ U
これから、
A=P^-1B P
B^-1P A=P
ということは、Tのすべての元に逆元が定義されている必要
があります。
A=P^-1B P より、P^-1 PをI とすると
AI=IA=A
A=I^-1A I
ですから、I は、単位行列です。
群の定義
集合Gがあって、
(1) A、B∈G の時、ABも ∈G
(2) A, B, C∈G の時、(AB)C=A(BC)
(3) I, A∈G の時、AI=IA=A
(4) A∈G で(3)のIにおいて、 A^-1 A=A A^-1=I
というAに対応するA^-1が ∈G
尚、ABという演算が足し算の時は加群といいます。
したがって、上記 線形変換は群を成します。
これを、一般線形群 といいます。
一般線形群の部分群
(詳しくは後日)
(特殊)ユニタリ群
回転群
ローレンツ群
フーリエ変換は、ユニタリ群の部分集合ですが群ではない