Note６．線形写像の像と核

Tが、ベクトル空間UからVへの線形写像である時、
Tの像：Im(T)＝｛T(u) | u∈U}
Tの核：Ker(T)＝{u∈U | T(u)=0 in V}
という。

Tの像とは、平たく言えば、T(u)　の集合　（⊂V）
Tの核とは、平たく言えば、T(u)=0 という連立方程式の解空間
となるuの集合　（⊂U）

定理5.1.1－1　　Tの像Im(T)は、Vの部分空間である
　　証明：
　　　　　部分空間となる３条件を調べる。
　　　　　v1=T(u1)∈Im(T), v2=T(u2)∈Im(T), c∈R とする
　　　　　(1)　０inV=T(0inU)∈Im(T)　
　　　　　(2)　v1+v2=T(u1)+T(u2)=T(u1+u2)∈Im(T)
　　　　　(3)　cv1=cT(u1)=T(c u1)∈Im(T)
　　　　　したがって、Im(T)は、Vの部分空間である
　　// 定理5.1.1－2　　Tの核ker(T)は、Uの部分空間である
　　証明：
　　　　　部分空間となる３条件を調べる。u1,u2∈ker(T), c∈R とする
　　　　　(1)　０inV=T(0inU) だから　０inU∈ker(T)
　　　　　(2)　T(u1+u2)=T(u1)+T(u2)=０inV+０inV=０inV
　　　　　　　だから　u1+u2∈ker(T)
　　　　　(3)　T(c u1)=cT(u1)=c０inV=０inV だから　c u1∈ker(T)
　　　　　したがって、ker(T)は、Uの部分空間である
　　//

T=行列の掛算TA: Rⁿ→R^m とした場合、
１．Tの核Ker(T)とは、、、
　　　定義より｛(x1;x2;,,,;xn) | A(x1;x2;,,,;xn)＝0 ｝
　　　つまり、A(x1;x2;,,,;xn)＝０という連立方程式の解空間である。
　　　解空間は、NullSpace　とも言うので、
　　　Null(T)＝dim(ker(T)) と定義し、これは、
　　　　　＝ｎ－rank(A) である。
　　　（０なら０次元　つまり　解は１個だけ）

２．Tの像Im(T)とは、
　　　定義より｛A(x1;x2;,,,;xn) | x1、x2,,,xn∈Rⁿ ｝
　　　A(x1;x2;,,,;xn)は、標準基底で展開すると、
　　　＝x1A(1,0,,,,0)+x2A(0,1,,,,0)+、、、+xnA(0,,,,1)
　　　＝x1a1+x2a2+、、、、xn an　
　　　つまり、Im(T)は、R^mの部分空間である

次元公式　
　　　rank(T)=dim(Im(T)）と定めると、
　　　前回の命題２より　
　　　「有限次元なら線形写像は、行列の掛算で表される」ので
　　　rank(TA)=rank(A) となる。
　　　上記　Null(T)＝dim(ker(T))＝ｎ－rank(A)　より、
　　　dim(ker(T))＋dim(Im(T)）＝ｎ
　　　となり、これを次元公式と呼ぶ