ベクトル空間→バナッハ空間→距離空間(距離関数の計量）

ベクトル空間
　　K上のベクトル空間とは、和とスカラー倍が定義された空間(集合)で
　　　　(f+g)（v）＝ｆ(ｖ）＋ｇ(V）　　 (ｆ,ｇ∈V ｖ∈V)
　　　　(ｃｆ)（v）＝ｃｆ(v）　　　　　 (ｃ∈K)
　　　　 V ≠ φ 　　
　　が成り立つVです。
　　（スカラー倍といっても、ｃは逆数でもいいので割り算も有りです)

ノルム空間、バナッハ空間　
　　ノルムとは、ベクトルの大きさ（長さ）のようなもので、
　　ノルム空間とは、ベクトル空間に「ノルム」が定義(追加)
　　されたものです。
　　完備なノルム空間がバナッハ空間です。
　　ノルムの定義
　　　　・||ｘ|| ≧ ０、且つ、||ｘ||＝０＜＝＞ｘ＝０　
　　　　・|| ｘ+ｙ|| ≦ ||ｘ|| + ||ｙ||　
　　　　・|| aｘ|| = |a| ||ｘ||　
　　　　（ヒルベルト空間でのノルムは内積で定義されます）

距離空間
　　　距離空間とは、ベクトル空間に「距離」が定義(追加)
　　　されたものです。
　　　距離空間とその距離関数については：
　　　　　　距離空間の定義とユークリッド空間 - 墓所の虫
　　　ユークリッド空間の点ベクトルA, Bをブラ・ケットで書くと
　　　距離関数ρ(A, B) は、
　　　ρ＾2＝（ <B| - <A| )( |B> - |A> ) という「差をとった内積」になります。

計量テンソル　
　　　内積と計量テンソル は数学ではペアです。
　　　上記の内積には、計量テンソルｇがついていると見ると
　　　ρ＾2＝ｇ（ <B| - <A| )( |B> - |A> )　
　　　　　＝ｇ（b0-a0)＾2+（b1-a1)＾2+（b2-a2)＾2＋、、、
　　　なので、4 次元のユークリッド空間 では、
　　　ｇ＝ diag(+1,+1,+1,+1）

ミンコフスキー空間　
　　　この距離関数ρは、
　　　ρ＾2＝ｇ（ <B| - <A| )( |B> - |A> )
　　　　　＝－(b0-a0)＾2+（b1-a1)＾2+（b2-a2)＾2＋、、、
　　　なので、b0 や a0 の位置が時間になるとすると
　　　ｇ＝ diag(－1,+1,+1,+1）