Note２．ベクトル空間

ベクトル空間とは
　　　平面ベクトルや空間ベクトルの全体の集合を抽象化した概念であり
　　　しかるべき性質を満たす「和とスカラー倍」が定義された集合。
　　　高校で言うベクトル「大きさと方向が定義されたもの」というのは
　　　早く忘れて下さい。
　　　（単にベクトル空間といった場合は、ノルムや内積の定義は関係ない）

１．体
　　　　　例えば実数体や複素数体の上に、ベクトル空間を定義する。
　　　　　例；　x1,x2,x3、、、を実数とすると、
　　　　　　　　(x1,x2)　　　　　。。。平面ベクトル　　→R²
　　　　　　　　(x1,x2,x3)　　　　 。。。空間ベクトル　　→R³
　　　　　 　　（x1,x2,x3、、、）　 。。。無限次元ベクトル　　→R^∞
　　　　　ただし、ベクトル空間を定義するには、実数体に限る必要はない。
　　　　　体の定義：　＋－X÷　が定義されている集合
　　　　　例：　
　　　　　　　　Q（有理数の集合）、R（実数の集合）、C（複素数の集合）
　　　　　　　　　（自然数の集合N　や　整数の集合Zはダメ）
　　　　　　　　F２＝｛０，１｝　　　０と１だけからなる集合
　　　　　　　　注：F２を（０，１）と勘違いしないこと

２．ベクトル空間の定義
　　　　　体ｋに対し、集合Vが、ｋ上のベクトル空間であるとは、
　　　　　(1)　任意のu,v∈V　に対し　u＋v∈V
　　　　　(2)　任意のu∈V、任意のa∈ｋ　に対し　a・u∈V
　　　　　ただし、上記の　和とスカラー倍は、以下を満たしていること
　　　　　u,v,w∈V, a,b∈k に対し、
　　　　　u＋v＝v＋u　　　　　　　。。。和の交換則
　　　　　(u＋v)＋w＝u＋(v＋w)　　。。。和の結合則
　　　　　u＋０＝０＋u＝u　　 　　。。。０元の存在
　　　　　(a・b)・w＝a・(b・w)　　。。。スカラー倍の結合則
　　　　　(a＋b)u＝a・u＋b・u　　。。。スカラー倍の分配則
　　　　　a(u+v)＝a・u＋a・v　　 。。。スカラー倍の分配則
　　　　　１u＝u　　　　　　　　　。。。単位元の存在
　　　　　０u＝０　　　　　　　　。。。０元の存在
　　　　　注：積の交換則は要求されない（Cⁿ は満たさない）

３．記法
　　　　例：体ｋに対し、ベクトル空間をVとすると、
　　　　V＝｛　(x1,x2) | x1,x2∈k }　
　　　　これを、
　　　　ｋ²＝｛　(x1,x2) | x1,x2∈k }　と書く。
　　　　一般に、
　　　　ｋⁿ＝｛　(x1,x2,,,,xn) | x1,x2,,,xn∈k }　
　　　　これを、ｎ次元のベクトル空間　と呼ぶ
　　　　Rⁿ＝｛　(x1,x2,,,,xn) | x1,x2,,,xn∈R }　
　　　　これを、ｎ次元の数ベクトル空間　と呼ぶ

４．例
　　(1)　実数係数の多項式　全体の集合
　 　　　　これをAとすると、Aは、定義によりベクトル空間
　　　　記法
　　　　　　A＝｛f(x)｜f(x)=a0+a1x+a2x²+,,,,an xⁿ　
　　　　　　　　　　　　a0,a1,a2,,,,an∈R
　　　　　　　　　　　　n=0,1,2,3,,,,,
　　　　　　　　｝
　　　　これを、R[x]＝｛f(x)｜f(x)=a0+a1x+a2x²+,,,,an xⁿ
　　　　　　　　　　　　a0,a1,a2,,,,an∈R
　　　　　　　　　　　　n=0,1,2,3,,,,,
　　　　　　　　　　　｝
　　　　と書く。
　　(2)　区間a、bで定義された連続な関数　全体の集合
　　　　これをAとすると、Aは、定義によりベクトル空間
　　　　Aを、C(a、b)＝ ｛f(x)｜区間a、bで定義された連続関数f(x)　｝
　　　　と書く。

　　(3)　スカラー全体の集合
　　　A＝｛f(x)｜f(x)=x　ｘ∈R　｝＝｛ｘ｜ｘ∈R　｝は、
　　　定義により、R上のベクトル空間　
　　　つまり、スカラー全体の集合も、ベクトル空間を成す！
　　　これは、Rⁿにおいて、ｎ＝１とした場合でもある。