ボルンの確率規則の数学的機構（試論）

射影仮説の役割には、２つあり、
A　固有状態間の干渉をなくす（密度行列の非対角項を０にする）
B　その中から、ある１つの固有状態を選び出す。
そして、Bでの「選び出される確率」は、ボルンの確率規則に従う
という形になっています。

ボルンの確率規則は、
　・選び出され方は、基本的にはランダム
　・測定する物理量をa とすると、波動関数ψ(a) がδ(a-a') になる確率は
　　　ψ＊(a)ψ(a)　に比例　
　・∫ψ＊(a)ψ(a) da ＝１　（100%）

ここでは、役割B に「ボルンの確率規則」を含めて、その成因を考えます。
（役割Aは、デコヒーレンスとか部分空間をとるとかで満たされているとします）

まず、道具をそろえます。
１．δ関数は、ヒルベルト空間には入らないので、δ(a-a') は、
　　a' の周りのごく狭い範囲を考え、それをa' で代表させます。
　　（ごく狭い短冊状の関数Δ(a-a') を考え、∫Δ(a-a') da＝∫δ(a-a') da とする）

２．固有値a' の集合はR ですが「原点からa' までの空間ベクトル」の集合
　　とみるとー直線に並びます。空間ベクトルを｜a' )　と書きます。
　　この｜a' ) では、内積(a2|a1) が定義され、集合は完備ですから
　　ヒルベルト空間を成します。

３．波動関数ψ(a) は、物理量a の固有空間への状態ベクトル｜ψ>の射影
　　から定義されます。
　　　ψ(a)｜a> = |a><a|ψ>　　
　　さらに、ψ(a) は、シュレーディンガー方程式に従って時間発展します。
　　ここでは、簡単のために、
　　　ψ(a, t)＝φ(t) ψ(a)
　　と書けるとします。つまり、定常状態を考えるわけで
　　φ(t)＝exp(-i Et/h') 　　です。

本論１：　射影仮説の役割のB の数学的機構 　　連続固有値の場合、ψ(a, t)｜a>の｜a>は無限次元です。 　　ψ(a, t)｜a>が張る空間と

（続）