密度行列を純粋状態にする処方（混合状態の純粋化）

混合状態は（古典的混合状態の場合も）
ヒルベルト空間を十分大きくとれば、純粋状態にできます。

[純粋状態｜ψ>と密度行列ρ　の関係]

例えば、｜ψ>を｜a>と｜b>の重ね合わせ、ρを「a」か「b」のどちらか一方
とすると、（確率は、Pa, Pb）

<ψ｜＝<a|＋<b|＝√Pa(1, 0)+√Pb(0,1)=Σ √P_n｜a_n>

＝Σ P_n｜a_n><a_n｜＋非対角要素（干渉項）

一方、ρは、

＝Σ P_n｜a_n><a_n｜

なので、一般に、

｜ψ><ψ｜を対角要素だけにしたもの（干渉項を０にしたもの）が、密度行列ρである。

[混合状態の純粋化の処方]

ある系Sの物理量aの混合状態を表す密度行列ρのスペクトル分解を

と書く。

ここで補助系W(次元がSと同じかより大きいヒルベルト空間）を考え、
W内の直交するN本の単位ベクトル｜V_n>　（n=1～N)　を使って

という状態ベクトルを定義すると、これが目的とする純粋状態になる。

証明：

を、補助系のVについて縮約したものが　ρになることを示す。

であり、|V_n><V_n| は単位行列になる。

これを、補助系のVについて縮約したものは、Sの部分だけになり

となる。

∴　純粋状態｜Ψ>のよけいな系Wを縮約すると、元のρ_Sになる

ただし、｜Ψ＞は一意ではなく、補助系の|V_n>をユニタリ変換したものも同じ状態になる //

厳密ではないが、ヒルベルト空間を大きくとるというのは、
「混合状態でのAという状態」を「測定すればAである状態」とすること
に、だいたい相当します。