量子もつれ系の部分系が「混合状態」であることの証明

簡単のために、２個の電子(A,B）のスピンの↑・↓の状態を考え、
|A>＝a1 |↑A> + a2 |↓A>　
|B>＝b1 |↑B> + b2 |↓B>　
とします。

状態|A>と|B>のあらゆるケースを含む状態を表わすのは、テンソル積：
|A>|B>＝(a1 |↑A> + a2 |↓A>) (b1 |↑B> + b2 |↓B>)　
＝a1b1 |↑A>|↑B>＋a2b2 |↓A>|↓B>＋a1b2 |↑A>|↓B>＋a2b1 |↓A>|↑B>　
です。
これらの項の係数が　a1～b2 の関係から少しでも外れると
|A>|B>とは表せないので、量子もつれ状態です。
極端な場合
a1b2 |↑A>|↓B>＋ a2b1 |↓A>|↑B>　
とか
a1b1 |↑A>|↑B>＋ a2b2 |↓A>|↓B>　
です（これを満足するa1～b2はない）

そういうわけで、 もつれ状態の部分系A、B　は
純粋状態：
|A>＝a1 |↑A> + a2 |↓A>　
|B>＝b1 |↑B> + b2 |↓B>　
では、ありえません（もつれ状態を満足するa1～b2はない）
じゃ、何なのかと言うと、密度行列でしか表せない混合状態です。

密度行列ρの定義は、全体系の確率を１、その射影 |an><an|の確率をＰn
とすると、
ρ＝Σn Pn |an><an|　
です。
なので、部分系Aの状態は、全体系の状態の
Aの↑成分＋Aの↓成分＋干渉成分
です（と思います）