距離空間の定義とユークリッド空間
距離空間と距離関数
集合X（ベクトル空間でもよい）において、x､y､z∈X とすると
どのようなx､yにも負でない写像ρ(x､y)が対応し、
且つ、
次の条件が成り立つ時、距離空間と呼ぶ。
(1) ρ(x､y)≧０ で、等号は、ｘとｙが同じ元のときに限られる
(2) ρ(x､y)＝ρ(y､x) － 交換則
(3) ρ(x､z)≦ρ(x､y)＋ρ(y､ｚ) － 三角不等式
写像ρ(x､y)を距離関数と呼ぶ。
ユークリッド空間
N次元距離空間Ｊにおいて、A､B ∈ Ｊとする
A＝(a1, a2, a3、、、)、B＝(b1, b2, b3,、、、)と書き、
距離関数ρ(A､B)を、ρ＾2＝（b1-a1)＾2+（b2-a2)＾2＋、、、
と定義したものを、ユークリッド空間と呼ぶ。
距離関数ρにおいて、ρ(０､A)としたものは、
距離空間におけるノルムになる。
また、A, Bをブラ・ケットで書くと、
ρ＾2＝（ <B| - <A| )( |B> - |A> ) という差をとった内積になる。
