１．経路積分こと始め
タネ本は、森藤正人「量子波のダイナミクス」です。
内容は、とね日記さん： http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/20dea8ac600f55f0c79934c6342e8c5c
を見てください。
拡散方程式と（自由粒子の）シュレーディンガ方程式の類似性
拡散方程式の「両端の温度が０に固定されている場合の解」ρ＝Asin(bx)exp(-ct) と、
ψ＝Aexp(ikx-iwt) とを比較して、おかしいと思われている方も多いと思います。
それは、ちょっと後回しにして、
自由粒子のシュレーディンガ方程式は、長さや時間の単位を適切に変えることで、ｍやｈを見かけ上
消去することで、
となります。
一方、拡散方程式は、
です。両者は、ｉ が付くか付かないだけの差です。
この差が原因で、↑の２つの解の差異となります（境界条件をそろえれば です）
２つの解の境界条件をそろえるため、シュレーディンガ方程式で、両端がψ＝０ とすると、
ψ＝Asin(bx)exp(－iwt)
となります。差異は、ｔ に付く ｉ の差だけです（まぁ当然ですが）
数学的には、解についてｔ→ｉｔと置き換えるだけで、一方から他方に移行できるということです。
これは、sin(x) と sinh(x) の関係と同じです。
しかし、ρとψの意味は、全く違います。（実数軸に漸近する・しないというだけでなく）
ρは、直接 確率分布を表せます。∫_{-∞}^{+∞}ρ dx ＝ １
ψ自体は、一般に複素数の関数で、そのままでは、確率を表せません。
じゃどうするかというと、｜ψ｜2 が、確率分布を表すとします（ボルンの確率規則）
ブラウン運動に戻って考えると、
粒子が(xi、tj)になる１ステップ前 tj-1 では、１ステップでは、⊿ｘしか動かないから、
この時点では、位置は、⊿ｘ・(i+1)＝ｘi+1 か、⊿ｘ・(i-1)＝ｘi-1 に居なければ
ならない。
この２つの事象が、それぞれ 1/2の確率で ρ(xi、tj) に寄与するので、
ではなく、ボルンの確率規則により、
となります。展開すると、
＝｜ψ(x_i＋1、t_j-1）+ ψ（x_i-1、t_j-1）｜2
＝｜ψ(x_i＋1、t_j-1）｜2 + |ψ（x_i-1、t_j-1）｜2 + 2ψ(x_i＋1、t_j-1）ψ（x_i-1、t_j-1）
＝(x_i＋1、t_j-1）に居た確率＋ψ（x_i-1、t_j-1）に居た確率 ＋ ？
で、？ がいわゆる干渉項です。
ということは、ブラウン運動に戻って考えると、、、
なんと！！ 量子論的粒子は、t_j-1の時刻に、x_i＋1とx_i-1の２点にいた ということになります。
と、僕が書くと、「またぁ トンデモを」と笑われるだけですが、
この 森藤正人「量子波のダイナミクス」のｐ８ には、２重スリットの実験結果の説明で
「それぞれの電子は、同時に両方のスリットを通過しているということである」
と、辺りをはばからず 明記しています。
（僕が書けば、お笑いのタネで、専門家が書けば、至言とは、、、）
