距離空間の完備化（４）

距離空間の完備化の残り（写像：X→C(X)～）

前回で、C(X)～で定義されるd~は、C(X)～上の距離関数であることが言えました。
したがって、距離空間の定義から、C(X)～は、距離空間です。

X：　　　距離空間（完備かどうかは言えない）これを完備化した集合を見つける。
C(X)：　　Xの基本列　全体の集合
C(X)～：　　C(X)を以下の同値関係で割った商集合
　　　　C(X)上の２つの元（xn|n∈N）と（x'n|n∈N）に対して、
　　　　d*(（xn|n∈N),（x'n|n∈N）)＝Lim[n→∞]ρ(xn,ｘ’n)＝０
　　　　となる時、その時に限って（つまり逆も言えるとき）同値関係（ｘn|n∈N）～（x'n|n∈N）と定義される

あとは、C(X)～が、Xを完備化したものになっていることを証明したいのです。
そのためには、
１．距離空間Xから距離空間C(X)～への写像ｆが等長写像である
２．像ｆ(X）は、C(X)～において稠密である
３．C(X)～は、完備である（すでにMurakさんの問いで証明していますが、、、）
を言えば終わりです。

１．距離空間Xから距離空間C(X)～への写像ｆが等長写像であることの証明
　　(1)　写像ｆ：X→C(X)～を以下のように定義する。
　　　　　∃x∈X　に対し、点列（xｎ|n∈N）において、xｎ＝x　とおいたものを　x~　で表わせば、 　　　　　x~∈C(X)である（基本列であることは明らか）。具体的に書けば、x,x,x,x,x,・・・ 　　　　　したがって、x~を代表元とする同値類が考えられ、 　　　　　　　　　　ｆ：x∈X　→　[x~]∈C(X)～ 　　　　　と定義する。
　　(2)　d(（ｘ1n|n∈N),（x2n|n∈N）)＝Lim[n→∞]ρ(x1n,x2n)　として関数d を定義した。
　　　　　また、C(X)/～の２つの代表元に対し、
　　　　　d~([（ｘ1n）],　[（x2n）])＝d*(（ｘ1n),（x2n）)　としてd~を定義した。(n∈N)

　　(3)　Xの２つの元x1、x2　に対して、ここでは、点列が　x,x,x,x,x,・・・の場合であるから、
　　 　　　　　d~(f(x1), f(x2))＝d~([x1~], [x2~])＝d*(ｘ1~,　x2~)　　
　　　　　　　＝Lim[ｎ→∞]ρ(x1,x2)＝ρ(x1,x2)　　
　　したがって、写像 f は、
　　ρ(x,y) = ρ'(f(x),f(y))　なる関係を満たすので、f は等長写像である
　　//　　
　　　　また、ρ(x,y)＞０　なら、ρ'(f(x),f(y))＞０　であり、この時　f(x)≠f(y)であるので
　　　　単射でもある。（Murakさんの問いの答え）

この１の証明は、何を意味するかと言うと、
C(X)の同値類には、
距離空間X内の点に収束するような点列{a_n}について、代表元を[（an）]とする同値類の集合｛Ea1、Ea2、、｝　　 収束する点がXに含まれない点列{b_n}について、代表元を[（bn）]とする同値類の集合｛Eb1、Eb2、、｝　 の２種類があり(Ex1,2、3,,の番号は収束点に対応するものです。an, bｎのｎとは関係ありません)
C(X)は、｛Ea1 Ｕ Ea2 Ｕ、、、 Ｕ Eb1 Ｕ Eb2 Ｕ、、、｝　となり、
C(X)/～は、｛Ea1、Ea2,,,、Eb1、Eb2,,,｝となる
わけですが、
点列x,x,x,x,x,・・・即ちｘが、集合C(X)～のEa1、Ea2 、、、のいずれかEax　に単射され、
また、等長写像であるので、XはC(X)～に「包まれる－数学での表現はわかりません」ということ
です（２の証明は、Eb1、Eb2、、、の方が対象）

２．像ｆ(X）は、X~において稠密であることの証明
　　これは、(xｎ）∈C(X)に対して、代表元を[（ｘn）]とする同値類を考え、
　　Lim[ｍ→∞]　d~（[（ｘn｜ｎ∈N）]、f(ｘｍ｜ｍ∈N））＝０
　　を証明すればよい。（１では単に　f(x)　）
　　これは、∀n,m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ n≧M and m≧M → |d~（[（ｘn）]、f(ｘｍ）)| < ε]
　　と書ける。
　　(1)　１の結果：　d~(f(x1), f(x2))＝d(ｘ1~,　x2~)　において、x２~＝xq　q∈Nとすると
　　　　d~([xn｜ｎ∈N], f(xm｜ｍ∈N) )＝d( (ｘn｜ｎ∈N),　xm~｜ｍ∈N)　となる。
　　(2)　(xｎ）について、基本列の定義より、
　　　　∀q,m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ q≧M and m≧M → |ρ(xq,xm)| <ε/2]　
　　　　にできる。（ｍとqであることに注意）
　　　　この時、m≧ｎ　ならば、
　　　　d~([xn｜ｎ∈N], f(xm｜ｍ∈N) )＝d*( (ｘn｜ｎ∈N),　xm~｜ｍ∈N)　
　　　　＝Lim[ｎ→∞]　ρ(xｎ,xm) <ε/2　＜ ε（上記のε）
　　∴　Lim[ｍ→∞]　d~（[（ｘｎ）]、f(ｘｍ））＝０

　　よって、C(X)～の任意の元（同値類[（ｘn）]の元) は、f(X)に属する点列f(xm)の
　　極限点となり、２が成り立つ

３．C(X)～は、完備であることの証明
　　（ｐｎ｜ｎ∈N）を、距離空間C(X)～の任意の基本列とする。
　　２より、像f(X)は、C(X)～において稠密であるから、元の距離空間Xの点列の中から、
　　　　　　d~(pn, f(xn) ) < 1/n　　ｎ∈N　　　　　　式(3)
　　を満たすものを選ぶことができる（正確には選択公理が要請される!!）
　　この点列（ｘｎ）は、Xの基本列である　（証明は略す）
　　さらに、d~(pn, [(xm)] ) ≦ d~(pn, f(xn) ) ＋　d~(f(xn), [(xm)] )
　　であるので、２の結果：Lim[ｍ→∞]　d~（[（ｘn）]、f(ｘｍ））＝０
　　と、式(3)　から、
　　　　　　Lim[ｎ→∞]　d~（ｐｎ、[(xm)] )＝０
　　が言える。
　　つまり、距離空間C(X)～の任意の基本列ｐｎが、C(X)～の点[(xm)]に収束するので、
　　C(X)～は、完備である。
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