距離空間の完備化（３）

「C(X)/～ の距離をどう定義するか」の証明

C(X)とは、距離空間Xの基本列全体の集合のことです。

この記事は、前回：
の「C(X)/～ の距離の定義」が正当であることの証明です。
そのために、
　　　(1)　C(X)の２つの元（基本列）、(xｎ）(yｎ）に対して　ｎ→∞：（ρ(xn,yn)|n∈N）が収束すること
　　　(2)　関数d~ が代表元に依存しない C(X)/～ 上の関数であること。
　　　(3)　関数d~ が距離の条件を満たしてること。
を証明します。　内田伏一「集合と位相」を参考
関数d~ は、
　　　C(X)/～ をX~とし、関数d~ ：X~×X~→R　を、C(X)/～の２つの代表元に対し、
　　　d~([（ｘn|n∈N）],　[（ｙn|n∈N）])＝d(（ｘn|n∈N),（ｙn|n∈N）)　
として定義されます。
関数d は、
　　　関数d：C(X)×C(X)→R　を、
　　　d(（ｘn|n∈N),（ｙn|n∈N）)＝Lim[n→∞]ρ(xn,yn)　
として定義されます。
d*の存在が言えるための条件が、(1)の証明です。

１．「(xn）,（yn)∈C(X)に対してｎ→∞：（ρ(xn,yn)|n∈N）が収束すること」のεδ法による証明

　　まず、m、n∈Nに対して、　｜ρ(xm,ym)－ρ(xn,yn)｜≦ρ(xm,xn)＋ρ(ym,yn)　が成り立つことを言います。
　　これは、距離ρの定義の三角不等式から、ρ(xm,ym)≦ρ(xm,ｘn)+ρ(xn,yn)+ρ(ｙn,ym)
　　ρ(xm,ym)－ρ(xn,yn)≦ρ(xm,ｘn)+ρ(ｙn,yｍ)
　　ｍとｎを入れ替えた式から、ρ(xｎ,yｎ)－ρ(xｍ,yｍ)≦ρ(xｎ,ｘｍ)+ρ(ｙｍ,yｎ)
　　で、距離ρの定義の対称律から、ρ(xｎ,yｎ)－ρ(xｍ,yｍ)≦ρ(xｍ,ｘｎ)+ρ(ｙｎ,yｍ)
　　したがって、｜ρ(xm,ym)－ρ(xn,yn)｜≦ρ(xm,xn)＋ρ(ym,yn)　　　　式1)
　　が成り立つ。

　　いよいよεδ法による表現
　　∀m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m≧M → |ρ(xm,xM)|<ε/2、|ρ(ｙm,ｙM)| <ε/2] にできる。
　　（これは、基本列の定義より、そう言える）
　　よって、式1)より、
　　　　　　∀m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m≧M → ｜ρ(xm,ym)－ρ(xM,yM)| <ε]
　　が成り立つ.
　　∴　実数列（ρ(xn,yn)|n∈N）が、実数の完備性から収束することがわかる。
　　　　　（つまり、実数列（ρ(xn、yn））は基本列なのです。完備距離空間R　詳くは（R、ρ¹）の基本列）
　　//

　　基本列の定義とは？って言われそうなので、、、
　　距離空間Xの点列（ｘm｜m∈N）が、
　　∀m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m≧M → |ρ(xm,xM)|<ε] にできる時、基本列とかコーシー列であると言う。

２．「d~([（ｘn|n∈N）],　[（ｙn|n∈N）]) が代表元に依存しない C(X)/～ 上の関数であること」の証明
　　d~ の定義は、
　　　　　　d~([（ｘn|n∈N）],　[（ｙn|n∈N）])＝d(（ｘn|n∈N),（ｙn|n∈N）)
　　　　　　d(（ｘn|n∈N),（ｙn|n∈N）)＝Lim[n→∞]ρ(xn,yn)　
　　であり、１より、Lim[n→∞]ρ(xn,yn)が収束する。
　　（だからといって、即「関数である」とは言えない。代表元に依存すれば意味を成さない）

　　そこで、「d~ が代表元に依存しないこと」を証明する。
　　（ｘn|n∈N）～（x'n|n∈N）かつ（ｙn|n∈N）～（ｙ'n|n∈N）とする。 　　d(（xn|n∈N),（ｙn|n∈N）)＝Lim[n→∞]ρ(xn,yn)　 　　また、 　　d(（x’n|n∈N),（ｙ’n|n∈N）)＝Lim[n→∞]ρ(x’n,y’n)　 　　であり、右辺は、上記１により収束する。 　　仮に、Lim[n→∞]ρ(xn,yn)　＝Lim[n→∞]ρ(x’n,y’n)　が言えれば、 　　d(（xn|n∈N),（ｙn|n∈N）)＝d(（x’n|n∈N),（ｙ'n|n∈N）)　である。 　　つまり、d~は、代表元[（ｘn|n∈N）],　[（ｙn|n∈N）]に依らない。 　　と言える。 　　そのために、Lim[n→∞]ρ(xn,yn)　＝Lim[n→∞]ρ(x’n,y’n)　　　　式2） 　　を証明する。

　　同値関係（ｘn|n∈N）～（x'n|n∈N）は、
　　C(X)上の２つの元（xn|n∈N）と（x'n|n∈N）に対して、d*(（xn|n∈N),（x'n|n∈N）)＝Lim[n→∞]ρ(xn,ｘ’n)＝０ 　　となる時、その時に限って（つまり逆も言えるとき）同値関係と定義される。
　　これのεδ法による表現：
　　　　　∀m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m＞M → ｜ρ(xｍ,ｘ’ｍ)| <ε] 　　これから、
　　　　　∀m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m＞M → ｜ρ(xｍ,ｘ’ｍ)| <ε/2] 　　　　　∀m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m＞M → ｜ρ(ｙｍ,ｙ’ｍ)| <ε/2] 　　で、式1)　｜ρ(xm,ym)－ρ(xn,yn)｜≦ρ(xm,xn)＋ρ(ym,yn)　と併わせて、 　　　　　∀m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m＞M → ｜ρ(xm,ym)－ρ(x’ｍ,y’ｍ)| <ε] 　　これは、式2）のεδ法による表現：
　　　　　∀m∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m≧M → ｜ρ(xm,ym)－ρ(x’ｍ,y’ｍ)| <ε] 　　に等しい
　　∴　d~ は、代表元[（ｘm|m∈N）],　[（ｙm|m∈N）]に依存しない

　　したがって、d~ は、C(X)/～ 上の関数である。
　　//
３．「関数d~ が距離の条件を満たしてること」の証明
　　関数d~ は、
　　　　　C(X)/～ をX~とし、関数d~ ：X~×X~→R　を、C(X)/～の２つの代表元に対し、 　　　　　d~([（ｘn|n∈N）],　[（ｙn|n∈N）])＝d(（ｘn|n∈N),（ｙn|n∈N）) 　　　　　＝Lim[n→∞]ρ(xn,yn)
　　として定義されます。
　　ただし、C(X)/～は、C(X)上の２つの元（xn|n∈N）と（x'n|n∈N）に対して、 　　d(（xn|n∈N),（x'n|n∈N）)＝Lim[n→∞]ρ(xn,ｘ’n)＝０ 　　となる時、その時に限って（つまり逆も言えるとき）同値関係と定義される商集合です。 　　したがって、この証明は、d~([（ｘn）],　[（ｙn）])＝Lim[n→∞]ρ(xn,yn)が距離の条件を満たしてること
　　に尽きます。
　　距離の条件とは、
　　　　X：空でない集合。ｄ：XｘX→R において、
　　　　(1) ∀ｘ、ｙ∈X に対して d(ｘ、ｙ）≧０ 　　　　　　０は、ｘ＝ｙの時に限る（逆に０ならｘ＝ｙが言える） 　　　　(2) ∀ｘ、ｙ∈X に対して d(ｘ、ｙ）＝d(ｙ、ｘ） 　　　　(3) ∀ｘ、ｙ、ｚ∈X に対して 三角不等式が成り立つ
　　で、Lim[n→∞]ρ(xn,yn)のεδ法による表現：
　　Lim[n→∞]ρ(xn,yn)は、ρ(xn,yn)が、上記1で極限の存在が言えるから　＝a と置ける。
　　∀ｍ∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m＞M → ｜ρ(xｍ,ｙｍ)－a| <ε]

　　(1)は、ρ(xｍ,ｙｍ)≧０より、a≧０
　　∴　d~([（ｘn）],　[（ｙn）])≧０
　　＝０の時は、∀ｍ∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m＞M → ｜ρ(xｍ,ｙｍ)| <ε]
　　ρ(xｍ,ｙｍ)＝０は、xｍ＝ｙｍに限る。これと同値関係の定義より、１はOK
　　(2)は、
　　∀ｍ∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m＞M → ｜ρ(ｘｍ,ｙｍ)－aｎ| <ε] 　　ρ(xｍ,ｙｍ)＝ρ(ｙｍ,ｘｍ)より、 　　∀ｍ∈N　∀ε> 0 ∃M∈N [ m＞M → ｜ρ(ｙｍ,ｘｍ)－aｎ| <ε]
　　∴　d~([（ｘn）],[（ｙn）])＝d~([（ｙn）],　[（ｘn）])　　　・・・２はOK
　　(3)は、
　　コーシーの不等式：ρ(ｘn,ｚn)≦ρ(ｘn,ｙn)＋ρ(ｙn,ｚn)　より、
　　d~([（xn）],[（zn）])＝Lim[n→∞]ρ(xn,zn)≦Lim[n→∞]｛ρ(xn,yn)＋ρ(yn,zn)}
　　∴　d~([（ｘn）],[（zn）])≦d~([（ｘn）],[（ｙn）])＋d~([（ｘn）],[（zn）])　　　・・・３もOK
　　//

これで、「d~が、C(X)/～ の距離関数になっている」ことが言えました。
あぁ～しんど、、、

距離空間の完備化は、あと、距離空間Xから完備距離空間C(X)/～への写像ｆが等長写像であるのと、
像ｆ(X）は、C(X)/～において稠密であること
を言えば終わりと思います。