5.ついにファインマン経路積分
前回導出したのは、ハミルトニアン経路積分です。
今回は、それをさらに変形して ラグランジュアン経路積分(ファインマン経路積分ともいう)を導きます。
変形というのは、簡単に言えば、
前回で、pnでの積分は、完全平方にすれば実行できるので、そうやって pn を消すことです。
尚、p_n(x_n+1-x_n)/ε の項を、p dx/dt として、1/ m{(x_n+1-x_n)/ε}^2 とやってはいけません。
1.前回の途中結果:
注: Σは、ε毎の和=t0からtまでの積分 (ε=⊿t)
これの、p_nに関する部分だけ取り出すと、
(εが残ることに注意。Σの中そのままなので)
で、x{n+1}ーx_n/ε を と書くと、(以降 pn のnは省略)
ここで、公式 を用いると、
dot{x} はp_n に対しては変化しないので、
2.1を ↑の結果に代入する。
(p_nの積分結果は定数なので N乗になる)
3.ラグラジュアンとみなせるものは、
です
2のファインマン核の式は、
係数が消えるのは、積分の測度 dx(τ)に含めるからで、 dx(τ)は、
です。