墓所の虫

.    「新版 量子論の基礎」と「量子情報と時空の物理」をベースに書いていますが、間違いをよくやります。まず眉にツバをつけてw

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大学教育は危機に瀕しています! 


私は言葉の使い方が下手なので、おかしいと思う文章は式に合わせてお読み下さい。
尚、新理論や独自理論を唱えるつもりはありませんが、アイデアの提案はしています。


5.ついにファインマン経路積分

前回導出したのは、ハミルトニアン経路積分です。
今回は、それをさらに変形して ラグランジュアン経路積分ファインマン経路積分ともいう)を導きます。
変形というのは、簡単に言えば、
前回で、pnでの積分は、完全平方にすれば実行できるので、そうやって pn を消すことです。
尚、p_n(x_n+1-x_n)/ε の項を、p dx/dt として、1/ m{(x_n+1-x_n)/ε}^2 とやってはいけません。

1.前回の途中結果:

  https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 K(t-t0)=¥lim_{N→∞} (1/2π hbar )^N∫_{-∞}^{+∞}dx_1、、、dx_{N-1}∫_{-∞}^{+∞}dp_1、、、dp_{N-1} \\    (e)^{Σ_{n=0}^{N-1}iε/ \hbar (p_n(x_{n+1}ーx_n)/ε - (T+V)}
               注: Σは、ε毎の和=t0からtまでの積分 (ε=⊿t)

  これの、p_nに関する部分だけ取り出すと、
   (εが残ることに注意。Σの中そのままなので)

  https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 ∫_{-∞}^{+∞}(e)^{iε/ \hbar  p_n(x_{n+1}ーx_n)/εー{p_n}^2/2m}dp_n

  で、x{n+1}ーx_n/ε をhttps://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 ¥dot{x} と書くと、(以降 pn のnは省略)        https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 ∫_{-∞}^{+∞}(e)^{iε/ \hbar  p ¥dot{x}ーp^2/2m}dp \\   ={∫_{-∞}^{+∞}(e)^{ーiε/2m \hbar (p^2ー2mp ¥dot{x}+{(m ¥dot{x})}^2)ー{(m ¥dot{x})}^2}dp
  https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 =∫_{-∞}^{+∞}(e)^{ーiε/2m hbar (p^2ーm ¥dot{x})^2 ー {(m ¥dot{x})}^2}dp \\=∫_{-∞}^{+∞}(e)^{ーiε/2m \hbar  {(pーm ¥dot{x})}^2}dp(e)^{iεm/2 \hbar  {¥dot{x}}^2 }

  ここで、公式https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 ∫exp(-iax^2)dx=√{π/ia} を用いると、
  dot{x} はp_n に対しては変化しないので、

  https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 =(2π \hbar m/ iε)^{1/2}e^{iεm/2 \hbar  {¥dot{x}}^2 }

2.1を ↑の結果に代入する。
     (p_nの積分結果は定数なので N乗になる)

  https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 K(t-t0)=¥lim_{N→∞} (1/2π \hbar )^N∫_{-∞}^{+∞}dx_1、、、dx_{N-1}((2π \hbar m/ iε )^{N/2} )
  https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式  (e)^{Σ_{n=0}^{N-1}{iε/ \hbar  m/2((x_{n+1}ーx_n )/ε )^2 - V(x)}}

3.ラグラジュアンとみなせるものは、

   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 ε Σ_{n=0}^{N-1}{m/2((x_{n+1}ーx_n )/ε )^2 - V(x)}≒∫_{t0}^{t} m/2 dot{x}^2 - V(x) dt        です
   2のファインマン核の式は、

   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 K(t-t0)=∫_{-∞}^{+∞}dx(τ)(e)^{i/ \hbar ∫_{t0}^{t} L (x、¥dot{x}) dt}         と表される。
   これが、ファインマン経路積分です!

   係数が消えるのは、積分の測度 dx(τ)に含めるからで、 dx(τ)は、
   https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex/?式 dx(τ)=Π_j {dx_j/√{2πi \hbar ε/m}}
   です。