Note３．１次従属と１次独立

１次結合と１次関係
　　　V：ベクトル空間
　　　v、u1～uN ∈ V　
　　　aN ∈ R　（N＝1,2,3、、、）において
　　　ｖ＝a1u1 + a2u2 + a3u3 +、、、aNuN　で表される時

　　　ｖは、u1～uN の１次結合で表される　

　　　という。（まだ「基底」の話じゃないです）
　　　この時の u1～uN において、
　　　c1u1 + c2u2 + c3u3 +、、、cNuN＝０　を１次関係
　　　という。
　　　ｃ1～ｃNが０の時を、自明な１次関係　という。

１次独立
　　　v1～vN ∈ V が１次独立とは、
　　　(1) 自明な以外の１次関係を持たない
　　　(2) c1u1 + c2u2 + c3u3 +、、、cNuN＝０　となるのは
　　　　　ｃ1～ｃNが０の時に限る
　　　例
　　　　　V＝Rⁿ において、
　　　　　e1=(1,0,0,,,) e2=(0,1,0,,,) e3=(0,0,1,,,) eN=(0,0,0,,,1,,,)
　　　　　は、１次独立　である。
　　　　　証明：
　　　　　　　　　c1e1 + c2e2 + c3e3 +、、、cNeN＝(c1,c2,c3,,,,cN)
　　　　　　　　　これが、(0,0,0,､､､）であるためには、c1,c2,c3,,,,cN
　　　　　　　　　が全て０に限る
　　　　　//

１次従属
　　　v1～vN ∈ V が１次従属とは、
　　　v1～vNが１次独立でない
　　　である。
　　　これを １次関係：　c1u1 + c2u2 + c3u3 +、、、cNuN＝０
　　　を満たすのは、
　　　ｃ1～ｃNの内　少なくとも１つは「０でないもの」がある
　　　と言ってもよい。
　　　これは、次の定理から言えます。

定理4.2.1
　　　u1～uN ∈ V：ベクトル空間　
　　　u1～uN が１次従属ならば、u1～uN　のどれか１つが
　　　残りのものの１次結合で表される。
　　　証明：
　　　　　　１次従属なので、自明でない１次関係がある。
　　　　　　c1,c2,c3,,,cN ∈ R　とすると、定義より、
　　　　　　c1u1 + c2u2 + c3u3 +、、、cNuN＝０　で、
　　　　　　c1,c2,c3,,,ｃNの内、少なくとも１つは０でない
　　　　　　それをｃkとし、移項すると、
　　　　　　-ｃkuK＝c1u1 + c2u2 + c3u3 +、、、cNuN　(ｋ番目を除く)
　　　　　　∴　uK＝(c1/-ck)u1 + (c2/-ck)u2 + (c3/-ck)u3 +、、、(cN/-ck)uN
　 　　　　　　つまり、uK　が、それ以外のもので表せた。
　　　//

定理4.2.1の逆
　　　u1～uN ∈ V　のどれか１つが、残りのものの１次結合で
　　　表されるならば、u1～uNは１次従属である。
　　　証明：
　　　　　略（ヒント：uK＝c1u1 + c2u2 + c3u3 +、、、cNuNと表せたとする)

定理4.2.2
　　　u1～uN ∈ V：ベクトル空間　
　　　u1～uN が１次独立とする、これにu0を加えて、
　　　u0,u1,,,uN　が１次従属になったとすると、
　　　u0は、u1～uN　の１次結合で表される。
　　　証明：
　　　　　　u0,u1,,,uN　は１次従属なので、自明でない１次関係がある。
　　　　　　ということは、
　　　　　　c0u0 + c1u1 + c2u2 + c3u3 +、、、cNuN＝０　が成り立つ
　　　　　　もし、c0＝０とすると（背理法）
　 　　　　　　c1u1 + c2u2 + c3u3 +、、、cNuN＝０　となり、
　　　　　　c1,c2,c3,,,ｃNの内、少なくとも１つは０でない。
　　　　　　u1～uN が１次独立(０になるのはｃNが全て０に限る)と矛盾
　　　　　　よって、c0≠０　
　　　　　　これより、移項してc0　で割ると、
　　　　　　u0＝(c1/c0)u1 + (c2/c0)u2 + (c3/c0)u3 +、、、(cN/c0)uN
　　　　　　つまり、u0　が表せた。
　　　//　

補題
　(1) v、u1～uN ∈ V：ベクトル空間
　　aN ∈ R　（N＝1,2,3、、、）において、(；は改行の意)
　　　ｖ＝a1u1 + a2u2 + a3u3 +、、、aNuN　で表される時
　　　ｖ＝（a1、a2、a3、、、aN)(u1 ；　u2 ；　u3 ；、、、uN)
　　　と書ける。

　(2) u、v ∈ V：ベクトル空間
　　　u＝（y1,y2,y3、、、yM）　ｖ＝（x1,x2,x3、、、ｘN）の時
　　　ｍｘｎ行列をAとすると、
　　　Aは、行ベクトルを要素とする列ベクトルとして書けるので
　　　uA＝(y1,y2,y3、、、yM)A＝(a11y1+a21y2+,,,aM1yM　～
　　　　　～　a1Ny1+a2Ny2+,,,aMNyM)
　　　＝（x1,x2,x3、、、ｘN）
　　　＝ｖ
　　　と書ける。 　　　 　(3) x1,x2,x3、、、xM ∈ V：ベクトル空間
　　　y1,y2,y3、、、yN　∈ V
　　　の時、ｍｘｎ行列をAとすると、
　　　(2)と同様に、
　　　(x1,x2,x3、、、xM)A＝(a11x1+a21x2+,,,aM1xM　～
　　　　　　　　　　～　a1Nx1+a2Nx2+,,,aMNxM)
　　　＝（y1,y2,y3、、、yN）
　　　と書ける。

定理4.2.3　
　　　ベクトル空間の元の２つの組　u1、、、uM と
　　　 v1、、、vN に対し、
　　　(1) v1、、、vN　が　u1、、、uM の１次結合で書ける
　　　(2) N＞M　
　　　ならば、v1、、、vN　は、１次従属になる。
　　　これから、v1、、、vN　が１次独立なら、N≦M　である
　　　（証明は略）
　　　例：R²＝｛(x1,x2)｜x1,x2 ∈ R｝の場合
　　　　　R²の任意のベクトル(a1,a2)は、a1(1,0)+a2(0,1) と書ける
　　　　　つまり、E1=(1,0) と　E2=(0,1)　の１次結合で表すこと
　　　　　ができる
　　　　　これから、R²　のｎ個のベクトルにおいて、
　　　　　ｎ＞２であれば、常に１次従属になる

ベクトルの１次独立な最大個数

　　　　ベクトル空間V内の、部分集合X＝｛v1、、、vN｝において
　　　　(1) Xの中にｒ個の１次独立なベクトルがある
　　　　(2) Xの中から、ｒ＋１個のベクトルを選ぶと、
　　　　１次従属になる時、ｒを、
　　　　「Xのベクトルの１次独立な最大個数」
　　　　という。

定理4.3.1
　　　ベクトル空間の元の２つの組　u1、、、uM と
　　　 v1、、、vN に対し、
　　　v1、、、vN　が　u1、、、uM の１次結合で書けるならば
　　　v1、、、vNの１次独立な最大個数ｋと、
　　　u1、、、uM の１次独立な最大個数ｒ　では、
　　　ｋ≦ｒ　である。
　　　証明
　　　　　u1、、、uM　は、番号を付け替えてもよいので
　　　　　u1、、、uｒ　を、１次独立に選ぶことが出来る
　　　　　定理4.2.2より、u r+1、、、uM　は、
　　　　　u1、、、uｒの１次結合で書ける
　　　　　v1、、、vN　は、u1、、、uM の１次結合で書けるので
　　　　　u1、、、uｒの１次結合で書けることを意味する。
　　　　　v1、、、vNの中で、ｋ個が１次独立とすると、
　　　　　定理4.2.3に当てはめると、v1、、、vｋが１次独立であり
　　　　　u1、、、uｒの１次結合で書けるから
　　　　　ｋ≦ｒ
　　　//