Note４．基底と次元、基底に関する座標

ベクトル空間に、やっと基底と次元が出てきました。

ベクトル空間の生成
　　　　ベクトル空間Vのベクトルv1,v2,、、、vN　が
　　　　Vを生成するとは、

　　　　「v1,v2,、、、vN∈V　において、Vの全てのベクトルu
　　　　　が、v1,v2,、、、vNの１次結合で表されること」

　　　　を言う（まだ、１次独立とは　言っていません）
　　　　これは、v1,v2,、、、vNが「ベクトル空間Vを張る」
　　　　とも言います。

ベクトル空間の基底（Basis）

　　　　基底とは、
　　　　ベクトル空間Vの元の集合｛v1,v2,、、、vN｝において

　　　　(1)　v1,v2,、、、vN　が１次独立
　　　　(2)　v1,v2,、、、vN　がVを生成する

　　　　このとき、集合｛v1,v2,、、、vN｝を「ベクトル空間Vの基底」
　　　　と呼ぶ。
　　　　例
　　　　　　　R²の（1，0）と（0，1）
　　　　　　　もちろん（1，0）と（0，－1）でもよい
　　　　　　　Rⁿの単位ベクトルで、１次独立なものの集合
　　　　註
　　　　　　　Vの基底は、１つだけではない
　　　　　　　また、v1,v2が１次独立とは、直交を意味しない
　　　　　　　（平行でさえなければ、v1でv2は表せない）
　　　　　　　例えば、R²で(1,0)と(1,1)でも、基底
　　　　　　　（直交基底の定義は、まだ先）

次元

　　　　次元を導く定理：
　　　　定理4.4.1　基底に含まれるベクトルの個数は
　　　　基底の取り方に依らず一定である。
　　　　証明
　　　　　　　ベクトル空間Vの２つ基底を｛u1,u2,,,uM｝と
　　　　　　　｛v1,v2,,,vN｝とする。
　　　　　　　v1,v2,,,vNは、Vの元なので、u1,u2,,,uM　の1次結合
　　　　　　　で書ける。
　　　　　　　N＞Mなら、v1,v2,,,vNは、１次従属となり（定理4.2.3）
　　　　　　　基底であることに矛盾
　　　　　　　したがって、N≦M　
　　　　　　　逆に　u1,u2,,,uMは、Vの元なので、v1,v2,,,vN　の1次結合
　　　　　　　で書ける。
　　　　　　　同様にして、N＜M　は、矛盾
　　　　　　　∴　N＝M

　　　　この「基底に含まれるベクトルの個数」を次元と呼び、
　　　　dim(V)と書く。
　　　　V＝{０｝の次元は　０　とする。
　　　　尚、スカラーからなるベクトル空間（例えばR¹）の場合
　　　　次元は１

基底に関する座標

　　　　空間座標のX軸とかY軸のことは、忘れた方がいいです。
　　　　座標を導く定理：
　　　　　　　{u1,u2,,,uN｝をベクトル空間Vの基底とすると、
　　　　　　　任意のｖ∈V　を表すu1,u2,,,uNの１次結合の、
　　　　　　　係数　c1,c2,,,cN　は　ただ、１通りである。
　　　　証明
　　　　　　　仮に、係数が２通りあったとする。
　　　　　　　それを、ｖ＝c1u1+c2u2＋,,,+cNuN と
　　　　　　　　　　　　＝d1u1+d2u2+,,,+dNuN とする。
　　　　　　　両者を引くと、ｖ－ｖ＝０＝(c1-d1)u1+(c2-d2)u2+,,,+(cN-dN)uN
　　　　　　　右辺は、u1,u2,,,uN　の１次結合であり、
　　　　　　　これが０になるということであるが、
　　　　　　　u1,u2,,,uN　は、基底なので１次独立。
　　　　　　　したがって　係数は０に限る。
　　　　　　　よって、c1＝d1、c2＝d2、、、cN＝dN
　　　　　　　つまり、１通りに限る。
　　　　//
　　　　それで、基底{u1,u2,,,uN｝を、横ベクトルで書くと (；は改行)
　　　　任意のｖ＝c1u1+c2u2＋、、、+cNuN
　　　　　　　　＝(u1,u2、、、uN)（c1;c2;、、、cN;）であり、
　　　　（c1;c2;、、、cN;）∈Rⁿ　と１対１に対応し、
　　　　且つ、和とスカラー倍の性質を保つ。
　　　　この係数のベクトルを、

　　　　基底{u1,u2,,,uN｝に関する　ｖの座標

　　　　と呼ぶ。
　　　　尚　c1,c2,,,cN　は　当然、基底の選び方に依存する。