Note10．内積空間（標準内積とエルミート内積）
Preヒルベルト空間というべき内積空間をやります。
タネ本は、新井朝雄「量子力学の数学的構造 Ⅰ」です。
１．内積空間の定義
Ｆを、実数体Rまたは複素数体Cとし、ＨをＦ上のベクトル空間とする
（Rの場合は標準内積空間、Cの場合はエルミート内積空間です）
Ψ、Φ∈Ｈ に対して、数＜Ψ、Φ＞ ∈Ｆ が、
以下の４つの性質を満たす時、＜Ψ、Φ＞を、
Ｈの「内積」とよび、ＨをＦ上の「内積空間」という。
(1) 線形性： 任意のΨ、Φ1、Φ2 ∈Ｈ と a,b∈Ｆ に対して、
＜Ψ、aΦ1 + bΦ2＞ ＝ a＜Ψ、Φ1＞＋ b＜Ψ、Φ2＞
(2) 対称性： 任意のΨ、Φ ∈Ｈ に対して、
＜Ψ、Φ＞ ＝ ＜Φ、Ψ＞＊
ここで、<Ψ、Φ>の値を aとすると、a＊は a の複素共役
(3) 正値性： すべての Ψ∈Ｈ に対して、
＜Ψ、Ψ＞ ≧ ０
(4) 正定値性：＜Ψ、Ψ＞＝ ０ ならば、Ψ＝０（Ｈの零ベクトル）
（僕は、内積の値∈Ｒと思いこんでいました。が間違いです）
２．上記(4) 正定値性 を満たさないが、(1)(2)(3)を満たすベクトル空間を
半正定値性内積空間と呼ぶ
３．反線形性
任意のΨ、Φ1、Φ2 ∈Ｈ と a,b∈Ｆ に対して、
＜aΨ1＋bΨ2、Φ＞ ＝ a＊＜Ψ1、Φ＞＋ b＊＜Ψ2、Φ＞
証明：
(1)(2)より、
＜aΦ1＋bΦ2、Ψ＞ ＝ ＜Ψ、aΦ1 + bΦ2＞＊
＝（ ＜Ψ、aΦ1 + bΦ2＞ )＊
＝（ a＜Ψ、Φ1＞ ＋ b＜Ψ、Φ2＞ )＊
＝ a＊＜Ψ、Φ1＞＊ ＋ b＊＜Ψ、Φ2＞＊
＝ a＊＜Φ1、Ψ＞ ＋ b＊＜Φ2、Ψ＞
４．公式
(1)と３より、
Ψn、Φm ∈ Ｈ an,bm ∈ Ｆ
５．ノルム
内積空間の 任意のベクトルΨ に対して、内積の正値性により、
という量が定義される。これをΨのノルムと呼び |Ψ|と書く。
