はじめに１．ベクトルの縦・横、ブラケット表記

註：
　　　ブラケット表記を、早い時点から使いたいので、
　　　「数学は、ベクトル空間の定義から」と割り切って、まず初めに
　　　行列を導入し、それにより、縦ベクトルと横ベクトル　を定義します。
　　　ベクトルの厳密な定義は、あとで「ベクトル空間」の節でします。
　　　また、行列の厳密な定義も、あとで「線形変換」の節でします。

線形代数の教科書は、まず「ベクトル空間の定義」で始めるものが多いですが
それでは、双対空間が出てくるまで、縦ベクトルと横ベクトル
　 の区別がないです。
（そもそも、数学で、縦や横というのは、普通に考えたらナンセンス）

双対空間を定義しても、ベクトルに２種類ある　というだけで、
縦ベクトルと横ベクトル　は、掛け算の仕方を定義しないと
言えないので、まず、行列を定義することにより、
縦ベクトルと横ベクトル　を導入し
「ブラケット表記」を使うことにします。

行列 （ここでは「行列」と「行列の表記」を区別しません)

行列とは、数や変数、１つの値を返す関数(これらをスカラーと呼ぶ)
を、縦　横　に一定個数、並べたもの（１個１個を要素と呼ぶ）
とします（∞個でも良い）
要素の先頭の行や列が　－∞の場合は、書きようがないですが、
それでも行列とします。

横方向を「行」、縦方向を「列」とし、
行数を n、列数を m　とすると（列の要素数がｎとなる）
これを　n ｘm 行列　と呼びます。

そして、要素を１個１個として見るのではなく
「１行の要素　まるごと」「１列の要素　まるごと」
と見て、これを、横ベクトルと縦ベクトル　として

ｍ次元の横ベクトル：
　 　　nｘm 行列の　ある１行まるごと（行の要素数がｍ）
ｎ次元の縦ベクトル：　
　　nｘm 行列の　ある１列まるごと（列の要素数がｎ）

と定義します。

要素の範囲が－∞からの場合や、要素が連続していれば、
書きようがないですが、それでもベクトルとします。
なので、関数であっても、ある条件を満たす関数は
ベクトルと言えます。

ここで、横ベクトルaをブラ、縦ベクトルbをケット　と当面は定義し
＜a｜、｜ｂ＞　　
と書きます（ブラ・ケット表記）例えば：

それで、内積（あとで定義します）を、普通の線形代数の教科書では
aやbが、横であっても縦であっても　（a・b）と表記しますが、
これは、ブラとケットでは　
＜ｂ｜ａ＞　
と表記します。

あとで出てきますが｜ｂ＞＜a｜という直積や｜ｂ＞| a＞というテンソル積もあります。

尚、行列は、２階のテンソル、ベクトルは、１階のテンソル
という言い方もあります。そういう意味では、
行列を、紙面の垂直方向にいくつか重ねれば　３階のテンソル
４次元方向にも重ねれば　４階のテンソル
です。