フーリエ変換は群を成すか？

ｘでのフーリエ変換をFx、逆フーリエ変換をF~x　とすると、

群の定義
１．要素A、Bがあるとき、ABも要素である
　　（関数2＝Fx 関数1　と考えれば、関数3＝FxFx 関数1＝Fx　関数2 ）
２．結合葎が成り立つ
３．特別な要素Eが存在して、任意の要素Aについて　AE=EA=A　が成り立つ
　　（単位元Eは１＝F~xFx＝F?　となるF?とします）
４．任意の要素Aについて　BA=AB=E　となる　Bが存在する
　　（フーリエ変換の逆元は逆フーリエ変換）

ですから、
｛フーリエ変換、逆フーリエ変換、単位元F?｝が、群
となるか考えてみました。

ただし、フーリエ変換の対象関数をf(ｘ)、f2(ｙ)とすると
ｆ2(y)＝Fx f(ｘ)
ｆ(ｘ)＝F~y f2(ｙ)
ｆ(ｘ)＝F~F f(ｘ)＝F? f(ｘ)
＝∫dx' f?(x,x') f(ｘ')

という形になるものだけで考えます。
それで、
ｆ(ｘ)＝F? f(ｘ)＝∫dx' f?(x,x') f(ｘ')　から
f?(x,x')＝δ(x-x')
であり、そして、
FF f(ｘ)＝∫dx　exp(-iyx){∫dx' f(ｘ')exp(-iyx')}
＝∫dx{∫dx' f(ｘ')exp(-iy(x'-x)}
＝∫dx' f(ｘ')δ(x'+x)
＝f(－ｘ)
ですが、これは、
ｆ(-ｘ)＝F?2 f(ｘ)＝∫dx' f2?(x,x') f(ｘ')
と置き換えると、
f2?(x,x')＝δ(x+x') です。

x’をｙと置くと、結局、

｛F(x to y)、F~(y to x)、∫dyδ(ｘ+y)、∫dyδ(ｘ-y)　｝という
巡回群を成します。
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