正準交換関係は導ける（「原理」ではない）

なんと「観測器の変位」について　空間の等方性・連続性から、正準交換関係を導けます。

（C.J.アイシャム「量子論」　7.2.2観測器の変位と正準交換関係）

１．二つの観測器o1,o2によって、系を考察する。o1とo2は　aだけ離れているとする。 　o1をa変位させてo2に一致させても、可観測量は同じ状況のはずである。 　したがって、o1,o2によって特定される状態ベクトルを|ψ>、|ψa>、 　観測後の状態ベクトルを|φ>とすると、

　　　　　　　　　｜<φ|ψ>｜＝｜<φ|ψa>｜　　

　　でなければ、ならない。

７．補題(２から６)により、ストーンの定理が成り立つことが言えるので、 　その結果「自己共役な作用素」が一意的に存在する。これを、dx^　と書くと、 　補題のD^　について、

　　　　　　　　　D^ (a)＝exp(iadx^ )

　を満たす（ｘ軸方向の移動の生成元である）

　また、任意のベクトル|ψ>に対して、

　　　　　idx^ |ψ>＝Lima→0－１^　)/a　|ψ>

　が言える。

８．状態|ψ>をD^ (a)|ψ>にする変換（ユニタリー変換）に対応する、可観測量の演算子B^ は、

　　　　　Ba^ ＝D^ (a)B^ D^ (a)^-1 　

　と、変換される。ここで、BとBaは、観測器ｏ1とｏ2に対応する作用素である。 　aが小さい場合、D^ (a)＝exp(iadx^ )の指数関数を展開すると、

　　D^ (a)＝1 + iadx^ +　ｏ(a2)　と書ける。そうすると、

　　Ba^ ＝ D^ (a)B^ D^ (a)-1＝(1+iadx^ )B^ (1-iadx^ ) + ｏ(a2)

　　＝B^ ＋ ia[dx^ 　B^ ]　+　ｏ(a2)

９．B^ が可観測量ｘである場合、

　　ｘa^ ＝ｘ^　＋ ia[dx^ 　ｘ^ ]　+　ｏ(a2)

　となり、この値は、ｏ2においては、＝ｘ^ + a　なので、Lim[a→0]とすると、ｏ(a2)→０ 　したがって、

　　　　　-i＝[dx^ 　ｘ^ ]

10．上記のdx^について、ｈ’dx^が、運動量ｐx　であることは、古典的極限を考えると明らかである。

　　　　　∴　-ih'＝[ｐ^ 　ｘ^ ] 以上。

補題： ２． １において、ウイグナーの定理（朝倉書店「現代数学ハンドブック」18.16ウイグナーの定理） 　から、ユニタリーまたは反ユニタリーな演算子D^aが存在して、

　　　　　|ψa>＝D^ (a)|ψ>

　を満たすことができる。

３．さらに、第三の観測器o3を、aからの距離bにおくと、その状態ベクトル|ψb+a>は、 　o1が直接o3の位置に変位しても、o1がo２の位置に変位してから、o3の位置に変位しても、 　同じはずである。つまり、

　　　　　|ψb+a>＝D^ (b+a)|ψ>＝D^ (b)|ψa>＝D^ (b)D^ (a)|ψ>

　であるから、 　　　　　D^ (b+a)＝D^ (b)D^ (a) 　と言える。

４．特別な値、a=b=r/2　を考えると、D^ (r)＝D^ (r/2)D^ (r/2)＝D^ (r/2)² 　D^ (r/2)² は、D^ (r/2）がユニタリー演算子か反ユニタリーに関係なくユニタリーである。

　したがって、D^ (r)は、ユニタリー演算子である。

５．明らかに、D^ (0)＝１^

６．観測器の変位は、物理的に連続であるから、

　　　　<φ|ψa>＝<φD^a|ψ>　も連続変化する

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