座標軸上の「位置」はR^∞ ではない！

座標という概念は正確には：
Note４．基底と次元、基底に関する座標 - 墓所の虫
の「基底に関する座標」のことで、「座標の値」はスカラーです。

粒子の位置xは、物理量（演算子）で、Ψ(x)に広がりがあると
その測定値＝固有値の中の１つで、
固有ベクトルは、無限次元 R^∞。
<x'|x>＝δ(x-x')

「座標軸上の位置」=「座標の値」と考えると、

<x2|x1>=｜x1|x2|　　<y2|y1>=｜y1|y2|　　<z2|z1>=｜z1|z2|

が成り立つので、｜x1>と｜x2>は平行です。
（直交　<x2|x1>=δ(x1-x2) ではない）

この演算子ｒのスペクトル分解は　X=x|x><x| でなく

X=x｜I_x><I_x｜

Y=y｜I_y><I_y｜

Z=z｜I_z><I_z｜　　ただし　I_x+I_y+I_z=単位ベクトル

「ｘ座標の値」ｘの固有ベクトルは、１次元のベクトル空間 R¹

「空間座標の値」ｒの固有ベクトルは、３次元のベクトル空間 R³

固有値は、座標の位置ｒ＝(x,y,z)　であり、 「座標の値」＝座標軸上の「位置」はベクトル空間 R^∞ ではない！ //

これから、場の理論で、場の座標を R^∞ とする必要性がないとも言えます。