情報の定義と観測者にとっての「情報の意味」の定式化
情報量の定義は、明確に書けます。以下の確率ｐと情報量Ｉの関係です。
（ここでいう情報量は、情報エントロピーのことでは、ありません）
情報の定義は、ここでは、
測定して「分からなかったことが、分かる」
＝観測者の持つ系の知識が増える
＝系の「情報」を得た
という関係として「情報」を定義します。
確率ｐと情報量Ｉの関係
情報量の定義は、驚きの大きさ＝滅多に起こらない率＝1/p
とすると、
Ｉ＝Log(1/p)＝- Log p
です。（単位は bit）
これは、サイコロでも写真でも成り立ちます。
（アナログ)写真の場合、単純には濃度は光子の数∝存在確率
に比例する。
写真の圧縮された画像では、単調な箇所は「驚き」が小さい。
また、古典論でも量子論でも同じ（と思います）
測定で得る情報量Ｉ
清水先生の文献：https://as2.c.u-tokyo.ac.jp/archive/handai2009.pdf
のｐ27 Ｉ≡ log2 [その測定により区別できるようになる状態の数]
量子系でも古典系でも（系の知識が増えない場合でも）同じ
というのが重要です。
測定と情報の関係
量子力学での測定には、狭い意味の測定（物理量演算子の測定）
と、広い意味の測定（統計的量の測定）があります。
量子論の「測定」の定義。狭い意味と広い意味 - 墓所の虫
両者共、測定して「分からなかったことが、分かる」なら、
＝観測者の持つ系の知識が増える
＝系の情報を得た
と言えます。
古典論での測定は、（測定してもしなくても同じ）確認にすぎない
＝観測者の持つ系の知識は増えない
と言われますが、それは対象系が「観測者にとって既知」の場合です。
「ラプラスの悪魔」が成り立つなら、
初期状態が定まっていれば「系は観測者にとって既知」と言えます。
対象系が 観測者にとって未知の場合、初期状態も未知ですから、
「ラプラスの悪魔」は成り立たず、
測定して「分からなかったことが、分かる」ので
＝観測者の持つ系の知識が増える
＝系の情報を得た
と言えます。
つまり、古典系でも未知の系に対する「最初の測定」は立派な測定
ということです。
そうして初期状態を知れば、対象系は既知となり(ラプラスの悪魔)
それ以降の測定では「観測者の持つ系の知識は変わらない」です。
系の知識が増えないからと言っても「何もしない」とは異なります。
例えば、惑星の位置の測定を写真でした場合を考えると、
「見慣れた天体写真」にすぎない＝観測者にとっての情報の意味＝０
の時でも、「見慣れたかどうかの判断」は、写真の情報が
観測者の脳に入ることが必要です。
したがって、「観測者は系の情報を得た」とは言えます。
「情報の意味」の導入（ここから独自理論）
観測者にとって既知の系では、観測者は系の情報を得たのに
「系の知識が増えない」のは、矛盾とも言えます。
これは、情報の意味＝０なので「意識が、得た情報を捨てる」
と解釈すれば、良い思います。
式で表すと、
測定しても「すでに分かっている」ならば、情報の意味＝０であり、
得た系の情報量＝log2 [その測定により区別できるようになる状態の数]
なので、
観測者の持つ系の知識の増加＝「得た系の情報量」ｘ「情報の意味」
で良さそうです（情報の意味の値は、意識による情報処理の結果）
具体的には、
測定により「知らなかったことが、分かる」なら、情報の意味＝１
「半分くらい分かっている」なら、情報の意味＝0.5
「測定値を見誤った(嘘の値)」なら、情報の意味＝０
等とすれば、この式で話が合います。
量子論の「測定」の定義。狭い意味と広い意味
量子論で言う「物理量」は、自己共役なエルミート演算子
のことです
平均値＝∫ψ(x)＊Aψ(x) dx や弱値とかのように、測定するのに
１個１個の測定結果を保存しあとで、データ処理する「統計的量」
は、物理量に含みません。
統計的量には、測定するのに、波動関数の確率(密度）のように
来る粒子１個１個をカウント(＝スクリーン上で累積）するもの
も含みます。
私の記事では、上記の物理量の測定を「狭い意味の測定」と呼びます。
「狭い意味の測定」では、多くの固有状態の重ね合わせが
ある１つになります（波動関数の収縮）
また、「広い意味の測定」とは、
対象系について、一般に「分からなかったことが、分かる」
＝観測者の持つ系の知識が増える
＝系の情報を得る
ものとします。
「広い意味の測定」は、系の「統計的量」の測定とします。
二重スリット実験での干渉縞や、S・G実験の銀原子の集団像
の測定は、上記の波動関数の確率(密度）という統計的量
の測定なので、「広い意味の測定」です。
「観測」は、両方の測定を含んだ概念で、
狭い意味の測定や広い意味の測定 ⊂ 観測 となります。
尚、統計的量の測定での「後でのデータ処理」は、
測定に含めないという意見もあると思いますが、
そうであれば、平均値や弱値とかの場合、
測定自体では、その値が得られないことになります。
粒子集団から集団の性質としての情報を得るとは？
これは「量子状態を持つ個々の粒子から情報を得る」話
とは、全然違います。
ここで、「物理量」「統計的量」「測定」を、↓で定義します。
量子論の「測定」の定義。狭い意味と広い意味 - 墓所の虫
標記の「粒子集団」として、とりあえず
コヒーレントでなく、互いの作用もない「多くの粒子の混合集団」
を考えます。
そうすると、全体系の状態は
|ψ1＞|ψ2＞|ψ3＞、、、|ψn＞
全体系の波動関数は
Ψ(x1,x2,x3, , , x_n)＝ψ1(x1) ψ2(x3) ψ3(x3)、、、ψn(x_n)
で、ψ1＝ψ2＝ψ3＝、、、＝ψn です。
なので、ψ1(x1) ψ2(x3) ψ3(x3)、、、ψn(x_n)＝Ψ(x)
と置けます。
Note８．固有値と固有ベクトル(固有空間)、対角化
１．固有値と固有ベクトルの定義
線形変換T：V→V とする。
T(u)＝λu （u∈V u≠０ λ∈R）
となるλを固有値と呼び、
uを固有値λに属する固有ベクトルと呼ぶ。
２．行列の対角化
行列Ｂを線形変換Ｔ(Ｂ)により、対角行列Ａ にすることを
行列の対角化という。
ベクトル空間Vの基底を u1、u2、、、uN とする。
この時 Ｔ(ui)＝λui（つまりＴの固有ベクトル）となっていたなら
Ｔ を行列で表すと、対角要素を λi とする対角行列Ａになる。
この行列A は、図で書くと、
U －(A)→ λU
｜ ｜
P P P：恒等写像
↓ ↓
U －(B)→ U
の関係であり、
左上端から右上端に行ったのと、下を通って行ったのが
同じ結果になることから、
Ａ＝Ｔ(Ｂ）＝P^-1BP
が言える。
この 対角行列Aを求めることは、即ち P^-1BPの行列P
を求めることに等しい。
Ｐは、上記より、（u1、u2、、、uN）という行列となる。
特に、A、Pが実数行列なら「Bは実数体上で対角化される」という。
実際の対角化計算は、行基本変形 で行うのが普通です。
線形代数のEssence 05-1.行列の基本変形（前編） - YouTube
３．固有空間の定義
１において、固有値λに対して、
集合W(λ、T)＝｛u∈V｜T(u)＝λu｝とおき、
このWをTの固有値λの固有空間という。
問題5.3-5（ｐ105）
２において、W(λ、T)は、Vの部分空間となることを示せ。
証明： 部分空間となる３条件を示せばよい。
条件１ T(０)=０ - λ０ であるから ０∈W(λ、T)
条件２ u,v∈W(λ、T)とする。T(u＋v)＝T(u)＋T(v)＝λ(u＋v)
したがってu＋v∈W(λ,T)
条件３ ｃ∈Rとする。T(c u)＝T(c u)＝λ(c u)
したがって c u∈W(λ,T)
//
４．固有多項式
定義： nｘnの正方行列Aに対し、
gA(t)＝｜tE - A|
という行列式の結果の多項式を固有多項式という。
gA(t)の根 λ1、λ2、、、λn が 行列Aの固有値になる
証明：
ｖを固有値λの固有ベクトルとする。つまり、Aｖ＝λｖである。
したがって、（tE - A）＝０ となる。
ｖは０ベクトルでないので、｜tE - A|＝０でなければならない。
５．特別な行列の対角化
エルミート行列
定義
・Aは、正方行列である
・A＝A＊ が成り立つ（A＊とは複素共役をとって転置）
この定義が成り立つ実数行列を 対称行列 と言います。
エルミート行列と対称行列をまとめて対称行列と呼ぶ文献
もあります。
定理9.2.2 エルミート行列の固有値は実数である
証明 （後日）
ユニタリ行列
定義
・Uは、正方行列である
・U＊U＝I が成り立つ（U＊とは複素共役をとって転置）
この定義が成り立つ実数行列を 直交行列 と言います。
定理9.2.10 ユニタリ行列Uは、エルミート行列Aを対角化する
U＾-1 A U は、対角行列になる。
証明 （後日）
シュレーディンガ方程式からエーレンフェストの定理を導く
簡単です。
まず、シュレーディンガ方程式から「期待値の方程式」を導く - 墓所の虫
により、
d/dt ＜A＞= i/h'＜[A, H]＞ が言えます（Aは時間に依存しない演算子）
それで、A=ｘ の場合
d/dt ＜ｘ＞= i/h'＜[ｘ, H]＞
[ｘ, H]＝h'p / i m
∴ ＜ｖ＞＝＜ｐ＞/m
A=ｐ の場合
d/dt ＜ｐ＞= i/h'＜[ｐ, H]＞
[ｐ, H]＝ - h'/i dV/dx
＜ｍa ＞＝－dV/dx＝－＜∇Ｖ＞
＝＜Ｆ＞と置くと
古典力学では Ｆ＝ｍa が常に成り立つので
Ｆの平均値＝ｍa の平均値 も常に成り立つ
系に働く力が、ポテンシャルによるものだけとすると
Ｆ＝－∇Ｖ であり、
Ｆの平均値＝－∇Ｖの平均値＝ｍa の平均値
が成り立つ
したがって、シュレーディンガ方程式から出てくる
＜ｍa ＞＝－＜∇Ｖ＞は、古典力学の平均値での式に一致する
オイラー・ラグランジュ方程式は常に成り立つので
その平均値での式も常に成り立つ。
つまり、
d/dt ＜∂Ｌ/∂v ＋ ∇Ｌ＞ = 0
である。
ここで、Ｌ＝1/2 mv＾2 ＋ V とすると
d/dt m＜v＞＋＜∇Ｖ＞＝０
∴ m＜ａ＞＝－＜∇Ｖ＞
したがって、シュレーディンガ方程式から出てくる
ｍ＜a ＞や－＜∇Ｖ＞は、オイラー・ラグランジュ方程式に従う
ということは、これらの期待値に対しては「最小作用の原理」が
成り立つと言える
//
Note10．双対空間（縦ベクトル・横ベクトル）
これまでは、単にベクトルとして言ってきましたが
量子力学では、ケットは、縦ベクトル、
ブラは、（同じ次元の）横ベクトルの２つがあり、
<x|ψ>＝ ψ(x) スカラー(の関数)
なんてやります。
これが、何故、言えるか考えてみます。
そんなこと、当たり前だろ！！ と言われると思いますが、
縦ベクトル|ψ>に「何か」して、スカラーという「別のもの」になる
ということは、
「何か」は写像です。
始めから「横ベクトルを掛ける」とは、決めつけられません
（最終的には、これが「横ベクトルを掛ける」であることを示しますが)
１．双対空間
Kを体とする（例えば複素数体）つまり、スカラーというのがミソ
VをK上のベクトル空間とする （空間です。ベクトルではない）
VからKへの線形写像ｆを、Vの線形汎関数という。
（何故、汎関数かというと、対象が個々のものでなく空間全体だから）
で、このｆの全体をVと書き、双対空間 と呼ぶ。
（線形汎関数の像＝Vの元＝ベクトル）
２．したがって、横ベクトルの成す空間は、縦ベクトルの「双対空間」である。
双対というからには、縦と対になるのは横しかないじゃないか！
というのは、数学ではないｗ
３． 双対空間Vは、
和とスカラー倍が定義される（これは、ベクトル空間の定義）
（f+g)（ｖ）＝ｆ（ｖ）＋ｇ（ｖ） (ｆ,ｇ∈V ｖ∈V)
（ｃｆ）（ｖ）＝ｃｆ（ｖ） (ｃ∈K)
V ≠ φ
したがって、Vは、K上のベクトル空間である。
４．補題 （三宅敏恒「線形代数学」 定理７.1.５）
体k上のベクトル空間Uからベクトル空間Vへの
線形写像全体の集合をHom(U、V) と書く。
Dim(U)＝ｎ Dim(V)＝ｍ とすると、
Hom(U、V)は次元がｍｘｎであるベクトル空間となる。
（証明は略）
５．補題 ４より、双対空間Vは、
V＝Hom(V、K) は、K上のベクトル空間で、
Dim(K)＝１（つまり、スカラー）であるから、
Dim(V)＝Dim(V) となり、
Vの表現を、縦ベクトルとすれば、ベクトルの掛け算の定義から
Vの表現は、横ベクトルとなる。
マクロな物理量の条件は？(何故アボガドロ数あれば十分か)
これは、清水明「新版 量子論の基礎」ｐ108 脚注の問いです。
粒子の集団が「マクロ」と言えるのは、アボガドロ数あれば
異存はないでしょうが、
では、「10＾12 個では？ 10＾6 個では？ 10＾3 個では？」
という問いです。
何故、アボガドロ数あれば十分かというと
Lim n→∞ a† |n＞ = a |n＞
が成り立つからと思います。
例えば、a† |10＾23個＞ ≒ a† |10＾23±１個＞
なら「マクロ」ということです。
しかし、|n＞と |n±1＞は直交するので、この式は間違いです。
広い意味でのデコヒーレンスが働いて、アボガドロ数付近で、
|n＞と |n±1＞が、事実上１次従属になる必要があります。
ただし、デコヒーレンス 自体は干渉を消すだけなので、それだけでは
複数の固有状態があるのに、固有値(＝測定値）が期待値付近の１つだけ
になっていることが説明できません。
（期待値付近にならないといけないのは、エーレンフェストの定理からです)
つまり、事実上の波動関数の収縮が必要で、
それで、１つの固有値ｑ(の固有ベクトル)になります。
でも、これでも未だ純粋状態(状態ベクトル)なので
正準共役量について、不確定性関係による広がりが問題になります。
これは、「期待値＜ｑ＞を古典的な物理量」とすれば、
[＜ｑ＞, ＜ｐ＞]＝０ なので、＜ｑ＞, ＜ｐ＞について
不確定性関係を無関係にできます。
期待値付近に固有値(＝測定値)がなる固有状態への収縮
デコヒーレンスで密度行列の干渉項を０にしただけではダメで
密度行列の対角項を（期待値付近に固有値がなるもの)１つだけ
残してあとは、０にすることです。
ここまでは、１つ状態ベクトルで表される純粋状態です。
Lim n→∞ a† |n＞ = a |n＞が成り立つよう
大きなｎ付近で |n＞と |n±1＞を事実上１次従属にすることです。
これは、「多粒子系の量子力学」として考えると、
|ψ1＞= |ψ＞＜ｎ|ｎ＞
|ψ2＞= |ψ＞＜ｎ±1|ｎ±1＞
で、|ψ1＞≠ |ψ2＞だったものが、|ψ2＞＝c1 |ψ1＞
となることで、これが成り立つ |ψ＞は存在しないですから
波動関数 ψ(x) ＝＜ x|ψ＞は、消失します。
上記で、「物理量の古典化」が言えると思いますが、
では、何が、
「期待値付近に固有値がなる状態への収縮」→ １つの状態ベクトル
「状態ベクトルの１次従属化」→ 波動関数の消失
を行っているのかと言えば
たぶん、「環境や自分自身の集団との相互作用」
だと思いますが、僕ではよくわかりません。
「環境との相互作用」は、よく研究されていますので
もっと「自分自身の集団との相互作用」の検討
が必要と思います。
線形変換と群（一般線形群）
線形変換
定義：体K上のベクトル空間Vがあって、
写像T：V→Vが、次の条件を満たす時、線形変換という
(1) T(u+v)＝T(u)+T(v) u,v∈V
(2) T(cu)＝c T(u) u∈V c∈K
要は、線形写像T：U→Vにおいて、V=Uとしたものです。
これを、図で書くと、
U －(A)→ U
｜ ｜
P P P：恒等写像
↓ ↓
U －(B)→ U
これから、
A＝P^-1B P
B^-1P A＝P
ということは、Tのすべての元に逆元が定義されている必要
があります。
A＝P^-1B P より、P^-1 PをＩ とすると
AＩ＝ＩA＝A
A＝Ｉ^-1A Ｉ
ですから、Ｉ は、単位行列です。
群の定義
集合Gがあって、
(1) A、B∈G の時、ABも ∈G
(2) A, B, C∈G の時、（AB)C＝A(BC)
(3) Ｉ, A∈G の時、ＡＩ＝ＩＡ＝A
(4) A∈G で(3)のＩにおいて、 A＾-1 A＝A A＾-1＝Ｉ
というAに対応するA＾-1が ∈G
尚、ABという演算が足し算の時は加群といいます。
したがって、上記 線形変換は群を成します。
これを、一般線形群 といいます。
一般線形群の部分群
（詳しくは後日）
(特殊)ユニタリ群
回転群
ローレンツ群
フーリエ変換は、ユニタリ群の部分集合ですが群ではない
