具体例（自由粒子）

１次元の自由粒子（平面波）

　　　タネ本は、森藤正人「量子波のダイナミクス」ｐ２３ですが 　　　積分の途中計算が載ってないので
　　　途中計算は、前野先生のhttps://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/field.pdf 　　　のｐ３５を見て下さい。

　　　結果は、ファインマン核K(x、t、x0、t0）＝ｔ＞0でのグリーン関数　は、

　　　

　　　です。
　　　尚、この結果は、ラグランジュアンが、の高々２次式であれば、
　　　https://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/64459056.html
　　　の計算手法で、直接求めることができます。

　　　それで、上記に対応する　ψ(x、t）は、初期の波動関数をψ0(x0、t0）とすると、

　　　

　　　で与えられますから、t0＝０で　ψ0(x0, t0）＝exp(ikx0）という波数ｋの平面波では、

　　　
　　　
　　　
　　　
　　　
　　　

　　　ここで、、公式 を用いると、
　　　前につく係数は、きれいに消えて、

　　　

　　　となり、めでたしめでたし。
　　　振幅は、かわらず、自由粒子のエネルギーは、運動エネルギーEkだけ＝（h’k)²/2m なので、時刻ｔでは、
　　　位相が、Ek t/h’　だけ変化することになる。また　ω＝h' k²/2m　でもある。