ベルの不等式－計算終（新版 量子論の基礎より）

７．真ん中の地点から「上下のスピンの重ね合わせになっている」
　　Entangledな電子を飛ばす

　簡単にするため離散スペクトルの場合だけ考えます。
　ボルンの確率規則より
　確率ｐ(a,b)=｜|a,b><a,b|ψ>｜²=<ψ||a><a||b><b|ψ>
　＜A B＞＝Σ[a,b]abｐ(a,b)=Σ[a,b]<ψ|a|a><a|b|b><b|ψ>
　　　　＝<ψ|A^B^|ψ>
　ここで　[A^ B^]＝0　なので　A^とB^は交換します。

　「月にa=+1、地球にb=-1」という状態を↑
　「月にa=-1、地球にb=+1」という状態を↓とし、
　その重ね合わせを
　｜ψ>＝（｜↑,↓ > - |↓,↑> ) / √2　
　とします。
　通常は、テンソル積で計算するところを、この本の通りに計算します。
　テンソル積では、｜ψ>＝（ |↑>|↓> - |↓>|↑> ) / √2　です。

　A^θを求めるために、まず、θ＝０を計算する。

　A⁰は、|a,b>の固有状態であるから、A^{0）＝a|a,b>
　また、A0は、Σa|a,b><a,b| でもある（スペクトル分解）
　で、上記の↑↓の関係から
　A0）＝Σa|a,b><a,b|＝Σ( |↑,b><↑,b) - |↓,b><↓,b|
＜以下、T_Naka様のアドバイスで訂正
　A0から、Aθを算出することを考える。
　そこで、
　 Aθ＝Σ( |↑',b><↑',b) - |↓',b><↓',b|}
　|↑',b>＝f1(θ)|↑,b> + f2(θ)|↓,b>
　|↓',b>＝g1(θ)|↑,b> + g2(θ)|↓,b>
　　　　（|↑,b>と|↓,b>も、規格化されており直交するとする）
　　　　（f1(θ)、f2(θ)、g1(θ)、g2(θ)は、実関数で直行するとする）
　とおく。
　規格化していますから、
　f1(θ)²+f2(θ)²=1　g1(θ)²+g2(θ)²=1　
　<↓',b|↑',b>は直交するので０ですから、f1(θ)g2(θ)+f2(θ)g1(θ)=0　
　<↑,b|↑',b>＝f1(θ)　<↓,b|↑',b>＝f2(θ)　
　<↑,b|↓',b>＝g1(θ)　<↓,b|↓',b>＝g2(θ)　
　|↑',b>＝f1(０)|↑,b> + f2(０)|↓,b>＝|↑,b>　
　よりf1(０)＝１　f2(０)＝０　　
　|↓',b>＝g1(０)|↑,b> + g2(０)|↓,b>＝|↓,b>　
　よりg1(０)＝０　g2(０)＝１
　また、<↑,b|↑',-b>は、直交します。(-bはθ+πに対応します)
　<↑,b|↑',-b>＝f1(θ+π)＝０
　<↓,b|↑',-b>＝f2(θ+π)＝１
　<↓,b|↓',-b>＝g2(θ+π)＝０
　<↑,b|↓',-b>＝g1(θ+π)＝１
　この結果と、座標回転の行列とを見比べると、
　|↑',b>＝cos(αθ)|↑,b> + -sin(αθ)|↓,b>　
　|↓',b>＝sin(αθ)|↑,b> + cos(αθ)|↓,b>　
で、α＝ -1/2　
　したがって、
　|↑',b>＝cos(θ/2)|↑,b> + sin(θ/2)|↓,b>　
　|↓',b>＝-sin(θ/2)|↑,b> + cos(θ/2)|↓,b>　
　となる。
　これを、A^θ＝Σ( |↑',b><↑',b) - |↓',b><↓',b| )　に代入すると、
＞　
　 A^θ＝cosθΣ( |↑,b><↑,b) - |↓,b><↓,b| )+sinθΣ( |↑,b><↓,b) + |↓,b><↓,b| )
　したがって、上記の↑↓の関係から　
　A^θ|ψ>＝{cosθ( |↑,↓> + |↓,↑> ) - sinθ( |↑,↑> - |↓,↓> )}/√2
　同様に　
　B^φ|ψ>＝{cosθ( |↑,↓> + |↓,↑> )＋sinθ( |↑,↑> - |↓,↓> )}/√2
　これで、やっと、相関が計算できます。
　<ψ|A^θB^φ|ψ> ＝ -cosθcosφ - sinθsinφ = -cos(θ-φ)
　<ψ|A^θB^φ'|ψ>＝ -cos(θ-φ')
　<ψ|A^θ'B^φ|ψ>＝ -cos(θ'-φ)
　<ψ|A^θ'B^φ'|ψ>＝ -cos(θ'-φ')

　∴C＝-cos(θ-φ)-cos(θ'-φ)＋cos(θ-φ')-cos(θ'-φ')

　で、いろいろ試して、例えば、

　θ＝3π/4　　φ＝2π/4　　θ＝π/4　　φ＝０

　の時、C＝-2√2　となり、ベルの不等式を破る
　これは、古典論的限界の２(隠れた変数があって一致する場合)よりも
　強く相関する　ことを表す。

　相関は、<ψ|A^θB^φ|ψ>＝ -cos(θ-φ)　であるので、
　θ＝φ　であれば　100% である（ただし逆相関）
　これは、A点とB点が、互いに光円錐の外であることを考えれば
　驚異と思うべきでしょう。
　何故なら、角運動量保存則は成り立たないといけないですが、
　成り立たせるために「隠れた変数」を導入しても
　「実験と合わない」
　のです。

８．古典的限界より強く相関する原因

　それは、上記の↑↓の重ね合わせの結果生じる「干渉項」のためである。

　重ね合わせを単純平均した相関、つまり、
　<↑,↓|A^θB^φ|↑,↓>と<↓,↑|A^θB^φ|↓,↑>の平均は、
　-cosθcosφ　であり、
　正しい相関　<ψ|A^θB^φ|ψ> ＝ -cosθcosφ - sinθsinφ と一致しない
　その差　-sinθsinφ　が干渉項である。

　もし仮に、干渉項がないとすると、
　<ψ|A^θB^φ|ψ> ＝ -cosθcosφ　
　<ψ|A^θB^φ'|ψ> ＝ -cosθcosφ'　
　<ψ|A^θ'B^φ|ψ> ＝ -cosθ'cosφ　
　<ψ|A^θ'B^φ'|ψ>＝ -cosθ'cosφ'　
　となり、
　Cは、±2の間におさまる

原因を「一方が↑になったのが、瞬時に、もう一方に伝わった」と
考えるのは、誤解です。
それは、運動する他の系から見て、「先に↑になった方」というのが、
逆方向に運動する系から見ると、逆転するので、
どちらから、どちらへ伝わった　とは言えないからです。