定義域は、計算のために＝恣意的に決めて良いか？

「無限高さ壁の箱の中の粒子」は、教科書では普通、　 ｘの定義域を　-L/2 <x< +L/2　という開区間とします。 両端まで含めると、いろいろ厄介だからだと思います。 この場合、ｘ→±L/2　の極限で、｜x>は完全系になり、 開区間内で、ψ(x)も、そのｘ微分も連続で、何の問題もないように見えます。

でも、物理的には、｜x>の　ｘは、－∞から＋∞　のはずです。 僕の疑念は、計算のために＝恣意的に、定義域を決めて良いか？ ということです。

そこで、「有限壁の箱の中の粒子」の問題で考えてみます。 この問題を学生が、定義域を　どうとろうと自由だ！　と言って、 ｘの定義域を　-L/2 <x< +L/2　の開区間にして解いたら 数学では　○　かもですが、物理では　X　でしょう。

でも、何故、X　なのでしょう？ ｘの定義域の両端で、不連続　になるからでしょうか？ 開区間内では、ψ(x)も、そのｘ微分も連続です。 また、ｘ→±L/2　の極限で、｜x>が完全系になるようにとれば 数学的には、全くおかしくないです。

どうも、波動関数では定義域は、自由にはとれない　ということのようです。 ψ(x)が、ｘ＝－∞から＋∞　に広がっていれば、ｘの定義域もその範囲。 広がりが有限範囲なら、定義域は　少なくとも、 その閉区間にしないといけないようです。

しかしながら、定義域外は、何であっても良いというのが数学ですから、 「無限壁の箱の中の粒子」であっても、定義域外のポテンシャルを 有限値にしてもいいことになり、それでは、上記の 「有限壁の箱の中の粒子」の問題と同じことが、言えてしまします。

ということは、ポテンシャルの定義域はｘ＝－∞から＋∞　に しないといけない。このｘは即ち、｜x>の定義域です。 波動関数は、｜x>への射影として定義するので、 ψ(x)のｘの定義域も｜x>と同じ　－∞から＋∞　になります。

∴　ψ(x)の広がりが有限範囲の「無限壁の箱の中の粒子」であっても、

ｘの定義域は　－∞から＋∞　

である必要があります。

//