ψ(ｐ)がψ(ｘ)のフーリエ変換である証明（Hによらない！）

波動関数ψ(ｘ)を、状態ベクトル｜ψ＞の位置ｘの固有空間への射影と定義すると、

ψ(ｘ)｜ｘ＞＝｜ｘ＞＜ｘ｜ψ＞

（＜ｘ｜ψ＞は内積なので、その結果を掛ける順序を逆にできる）

同様に、運動量ｐの波動関数ψ(ｐ)は、

ψ(p)｜p＞＝｜p＞＜p｜ψ＞

固有空間への射影をすべて足し合わせたものは、元の｜ψ＞だから

｜ψ＞＝∫ψ(ｘ)｜ｘ＞dx＝∫｜ｘ＞＜ｘ｜ψ＞dx

したがって、

ψ(p)｜p＞＝｜p＞＜p｜ψ＞＝｜p＞＜p｜∫｜ｘ＞＜ｘ｜ψ＞dx ＝｜p＞∫＜ｐ｜ｘ＞＜ｘ｜ψ＞dx

∴　ψ(p)＝∫＜ｐ｜ｘ＞ψ(ｘ)dx

内積＜ｐ｜ｘ＞の計算は、前野昌宏先生の「量子場の理論入門」

http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/field.pdf 「1.2.2 ブラとケットによるx-表示とp-表示」

にあります（自然単位系です！）。その結果から、

＜ｐ｜ｘ＞＝h'/√{2π} exp(－ｉp x/ h')

また、＜ｘ｜ｐ＞＝｛＜ｐ｜ｘ＞｝＊　なので

＜ｘ｜ｐ＞＝h'/√{2π} exp(ｉp x/ h')

したがって、

ψ(ｐ)は、ψ(ｘ)のフーリエ変換、ψ(ｘ)はψ(ｐ)の逆フーリエ変換　の関係になります //

この関係は、正準交換関係が成立すれば、成り立ち、ハミルトニアンHによりません。