SOｎの「左手系・右手系の保存」は、ｎ→∞の極限では破れる！？

SOn+1の部分空間(ｎ次元)上では、SOn+1で反転が可能 - 墓所の虫
で
「SOn+1の部分空間上では『SOnの左手系・右手系の保存』は破れる」
という帰結ですが、
ｎ→∞の極限では、どうでしょう
（Lim　n→∞　n=n+1　だから）
命題：
SOｎの「左手系・右手系の保存」は、ｎ→∞の極限では破れる。

となりそうｗ

証明？
1. ｎ次元空間Aを、ｎ+1次元空間Bの部分空間
とすると、
Lim n→∞　A＝B
Lim n→∞　SOn+1のA上の変換＝SOn+1のB上の変換

1. Lim n→∞　SOｎ＝SOｎ+1
   とは何とも言えませんが、
   A上での「SOｎに反転を加えた変換」は
   Aを部分空間とする「SOn+1の変換」
   に含まれる
   ので、
   「SOｎに反転を加えた変換」をSO'n+1 とすると
   SO'n+1 のA上の変換＝SOｎ+1のA上の変換

１より、
Lim n→∞　SO'n+1 のA上の変換＝SOn+1のB上の変換
　　＝SOn+1の変換

∴　SOｎの「左手系・右手系の保存」は、
　　ｎ→∞の極限では破れる
//

この証明が、正しいければ
SUｎの「ノルムの保存」は、ｎ→∞の極限では破れる
とか言えそうになって大変なことになります。
そうならないのは：
１の　Lim n→∞　A＝B 　が誤りです（と思います）