粒子の位置は実在ではない（一般に物理量は実在ではない）
量子力学での「粒子」は「点」です。何故なら、位置演算子の固有ベクトルを |x> と書くと
<x'|x>＝δ(x-x') であり、ちょっとでも離れれば０で、
分裂したり、ぼやけて広がっているなら、この式はδ関数になりません。
では、
粒子は「必ず常に どこかの１点には存在する＝実在している」と思っていいのでしょうか？
アインシュタインらの「実在」の定義は：
http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/lecture_note/kstext04_ohp.pdf
＞完全な理論には、実在のそれぞれの要素に対応する要素が、理論の中にあるべきである。
＞ある物理量が「実在する」と言えるための十分条件は何かというと、
＞その物理量を有する系の状態を乱すことなしに、
＞その物理量を確実に予言することが可能であること
とあります。
ｘ座標軸上のどこかの１点に必ず存在している点は、座標軸を数直線とみなすと
必ず実数値 をとります。（ｙ座標、ｚ座標でも同様です）
粒子の位置が「実在」なら「必ず ｘ座標の１つの値をとる」
つまり、
粒子は、どんな状態でも、どこに存在するかはわからないが
(1) 粒子は「必ずどこかの１点には存在する」＝「必ず ｘ座標のある１つの値をとる」
という主張を、ここでは「粒子の位置は実在である」とする主張と呼びます。
もちろん、位置演算子を「位置の固有状態」に作用させれば、
x^|ψ>= x1|ψ> となり、
この場合の位置x1は「ｘ座標の どこか１つの値」をとること に間違いはありません。
なので、測定前とかの 何も作用させていない状態で、
「粒子の位置は 必ず常に ｘ座標の１つの値をとっている」と言う主張
を問題にしています。
ここでは、１の主張から、もっと緩い、
(2) 粒子がとる位置ｘは ある適当な位置x0より『小さい値』か『大きい値』を、常にとる
という主張で考えてみます。
（ｘやx0を、一般の値ｑやq0に置き換えてもいいですし、離散系にも適用できます）
(2)が 否定できれば、(1)の主張も否定されます。
以下で、位置が純粋状態の重ね合わせとすると、(2)が否定できることを示します。
証明：
粒子が存在する位置が、ｘ軸上のある適当な位置x0より『小さい』状態を｜－＞、
『等しいか大きい』状態を｜＋＞とします。
（位置でない他の物理量q^の場合でも、ｑ軸上で同様に考えればいいです）
学部で習う普通の量子力学では、これを (1,0) や (0,1) で表します（状態ベクトル）
測定前、粒子が、ｘ軸上の１ケ所の位置に存在するならば、
１．｜－＞が100%で｜＋＞が０%（存在しない） の状態
または、
２．｜－＞が０%（存在しない）で｜＋＞が100% の状態
のどちらかであって、どっちかだけ ということです。
これは |－＞ と |＋＞の重ね合わせ ではありません
重ね合わせなら、｜－＞も｜＋＞も両方、存在し
どっちかだけ ではありません。
つまり、これは、１と２の「混合状態」です。
ということは、前提の |－＞ と |＋＞の重ね合わせ状態 と矛盾
∴ 「粒子の位置ｘは ある値を常にとる」という主張は誤り
したがって、一般には、粒子の位置は実在ではない！
別の見方をすると、
一般に |－＞ と |＋＞の重ね合わせ（純粋状態）を考えると、
状態ベクトルは、
a2を |－＞の確率、b2を |＋＞の確率 とすると（重ね合わせなら a, b≠０）
a|－＞ ＋ b|＋＞ ＝ (a, b） となります。
これは、a≠０ なら |－＞が 何%でか多少存在する。
存在するかどうかのYes/Noで言えば (1, 0)と同じことである と言えそうですが、
しかし、
上記の１であれば、｜＋＞が０%なのに、b≠０ です（｜＋＞が有る）
また
２であれば、｜－＞が０%なのに、a≠０ です（｜－＞が有る）
これは、どっちかだけ＝１00%有るか全く無い と仮定なのに、
全く無いした方に「少しは有る」ということで矛盾
したがって、(2)は否定され、(1)も否定されます！
