<q｜ψ>はｑ表示の波動関数、では<ψ’｜ψ>は？

物理量ｑ^は、 ｑ^＝∫q｜q><q｜dq　です（スペクトル分解定理）

ここで、｜q>は、固有値がｑである場合のｑ^の固有ベクトル 　を意味します。 そして、ｑ表示の波動関数は、状態ベクトルの「｜q>の張る空間」への 射影｜q><q｜として

ψ(q)｜q>＝｜q><q｜ψ>　として定義されます。 （ψ(q)｜q>の張る空間は、状態ベクトル空間の部分空間）

つまり、<q｜ψ>は、ｑ表示の波動関数　です。

一方、<ψ’｜ψ>は、｜ψ>も｜ψ’>も状態ベクトルです。 ファインマンⅤ　によると 始状態を｜ｓ>、終状態を｜ｘ>　とすると （この場合　｜ｘ>はｘ^の固有ベクトルのことではない）

<ｘ｜ｓ>　を「確率振幅」と定義しています。

｜ψ’>を、｜ψ0>のユニタリ発展とすると、　｜ψ’>＝U｜ψ0>

<ψ’｜ψ0>＝<ψ0｜U†｜ψ0>

Uが、単位行列の場合、 <ψ0｜U†｜ψ0>＝<ψ0｜ψ0>＝１ つまり、ψ’が何も変わっていない場合、<ψ’｜ψ>＝１

また、このユニタリ発展が時間発展の場合、 U＝exp(-i Ht/h’) （ハミルトニアンHが、時間に依存しないとする）

<ψ’｜ψ0>＝<ψ0｜exp(i Ht/h’) ｜ψ0>

｜ψ0>が　Hの固有ベクトルの時、H｜ψ0>＝E｜ψ0>

<ψ’｜ψ0>＝exp(i Et/h’) 　これは、波動関数ψ(x,t)=ψ(x)ψ(t)　のψ(t)ですから

この場合の確率振幅<ψ’｜ψ>は「波動関数の時間部分」になります。

以降、プロパゲータとの関係を書きます。 （続）